Moko Darjatmoko
Sat, 23 Oct 1999 07:06:57 -0700
Dear itb-netters,
Seperti saya tulis sebelumnya, berikut ini saya lampirkan tanggapan atas
surat pembaca "Memburu Pengakuan Penemuan Ilmiah" yang saya kirimkan
kemarin kepada redaksi Suara Merdeka. Mungkin sampai tujuan mungkin juga
tidak, karena Suara Merdeka tidak mencantumkan alamat kontak via email
(jadi saya kirim langsung ke [EMAIL PROTECTED] ... so far so good
... at least not bounced until now) -- Moko/
*****
Redaksi & Pembaca Yth.,
Dalam rubrik Surat Pembaca (SUARA MERDEKA, 23 Oktober 1999) Sdr.
H. Pramoe Soetomo mengisahkan "penemuan ilmiah" peneliti muda yang
juga diungkapkan sebelumnya pada edisi tanggal 8 September 1999.
Disebutkan bahwa peneliti tersebut "menemukan" kesalahan pada
konstanta percepatan gravitasi bumi pada permukaan laut dan
khatulistiwa saja, juga ketidakbenaran bilangan Archimedes
(Pi = 22/7) dan bilangan Napiere (e).
Dibawah ini ada lima hal penting yang ingin saya tanggapi:
(1) Disebutkan oleh penulis ...
"Misalnya mengenai konstanta percepatan gravitasi bumi pada
permukaan laut dan katulistiwa yang g = 9,7805 m/s2; ia
menyanggah dan menyatakan yang benar adalah g = 9,862285979 m/s2
atau g = 9,8623 m/s2."
Angka pertama (yang disanggah) itulah yang lebih mendekati kenyataan.
Ini didukung oleh pengukuran di katulistiwa yang sudah jutaan kali
dilakukan orang. Angka kedua lebih mendekati besaran gravitasi di
kutub, ketimbang di katulistiwa. Perbedaan antara gravitasi di kutub
dengan di katulistiwa adalah 0.0339 m/s2.
Pengukuran empiris di beberapa garis lintang yang berbeda (pada
ketinggian muka laut) mengukuhkan perbedaan gravitasi ini. Sebagai
contoh di Greenland (70 Derajad Lintang Utara) nilai gravitasi
adalah 9.82534 m/s2; sedangkan di Cambridge, Massachussetts (42 DLU)
9.80398 m/s2; dan di Panama Canal yang dekat katulistiwa (9 DLU)
9.78243 m/s2.
[CATATAN: Percepatan gravitasi di katulistiwa lebih kecil daripada
gravitasi di kutub karena adanya percepatan sentrifugal yang arahnya
berlawanan (ke luar) yang disebabkan oleh rotasi bumi. Kalau bumi
bisa dianggap bundar sempurna, maka ada perbedaan pecepatan sebesar
v2/R, dimana v=kecepatan di katulistiwa dan R=radius bumi. Setiap
titik di katulistiwa mengelilingi bumi penuh selama 86,164 s (hampir
24 jam). Jadi v = 2 Pi (6.38 x 10^6 m)/(86,164 s) = 465 m/s.
Akhirnya, v2/R = (465 m/s)2 by 6.38 x 10^6 m = 0.0339 m/s2.]
(2) Disebutkan tentang "Kesalahan Bilangan Archimedes" bahwa
"Bilangan Pi yang dikenal selama ini, ada 2 versi, yaitu versi
Archimedes p = 3,14285714285714 (= 22/7), dan Pi versi L. Euler,
p = 3.14159265358979 (pada kalkulator dan komputer). Bilangan
Archimedes yang disebut juga sebagai bilangan Pi, pada tahun 1798
dilambangkan oleh L Euler dengan notasi jari-jari. Nilai bilangan
Pi diperoleh dari hasil bagi keliling lingkaran terhadap garis
tengahnya."
Pertama, perlu diluruskan bahwa yang bilangan Pi itu tidak cuma
"2 versi" saja. Sejak 2000 tahun sebelum Masehi para insinyur di
Babilon sudah menggunakan bilangan Pi = 3.125 (3 +1/8). Begitu pula
arsitek Mesir purba yang membangun piramid sudah menggunakan
bilangan Pi = 3.16405. Sebuah ayat Bible (1Kings 7:23) yang ditulis
sekitar 550 sebelum Masehi menceritakan raja Solomon yang membuat
bak mandi bundar yang kelilingnya 3 kali diameter (Pi = 3). Sejak
itu ratusan orang melakukan perhitungan dan menentukan Pi yang
"diyakini" masing-masing. Semua perhitungan Pi ini dilakukan secara
empiris, dengan pengukuran secara fisik, paling tidak sampai jaman
Archimedes. Archimedes lah orang yang pertama kali melakukan
perhitungan Pi secara teoritis, tanpa mengukur benda di lapangan.
Beginilah cara berpikir Archimedes pada saat itu:
Keliling lingkaran terletak diantara "inscribed polygon" (poligon
dalam, yang sudut-sudutnya terletak pada keliling lingkaran) dan
"circumscribing polygon" (poligon luar, yang sisi-sisinya menyentuh
keliling lingkaran).
Keliling poligon yang teratur (panjang sisi sama) lebih mudah
dihitung, dan ini yang kemudian dipakai sebagai pendekatan
(pembatas) keliling lingkaran didalamnya. Makin besar jumlah sisi
poligon, makin dekat kedua poligon tersebut pada lingkaran, dan pada
akhirnya keduanya konvergen menjadi lingkaran.
Pada jaman Archimedes, perhitungan yang kelihatannya "sepele" ini
ternyata luar biasa repot, mengingat ilmu yang ada waktu itu baru
geometri (ilmu ukur) saja. Jangankan kalkulator, trigonometry (ilmu
ukur sudut) dan aljabar masih belum ada, bahkan notasi desimal pun
masih belum diciptakan manusia. Harap diingat, Archimedes ini hidup
di tahun 287 sampai 212 ... sebelum Masehi!
Karena itulah Archimedes "hanya" sempat menghitung sampai poligon
dengan sisi 96, dan mendapatkan nilai Pi diantara keliling kedua
poligon pembatas, yaitu
223/71 < Pi < 22/7
Jika kita ambil rata-rata dari dua nilai pembatas (limit) diatas,
maka akan kita dapatkan nilai Pi "temuan" Archimedes sebesar 3.1418.
Perhitungan Archimedes tidak melenceng terlalu jauh -- kesalahannya
cuma 0.0002 (0.6%). Satu hasil yang cukup bagus untuk kebanyakan
perhitungan praktis, bahkan sampai jaman sekarang pun.
[CATATAN: Lebih dari dua milenia yang lalu, Archimedes sudah tahu
secara pasti bahwa nilai Pi itu tidak sama dengan 22/7, dan dia juga
pernah berkata bahwa dia menemukan nilai yang eksak. Bahwa banyak
orang kemudian memakai 22/7 --seperti yang lazim diajarkan di
sekolah kita-- dan kemudian menganggapnya sebagai nilai konstan
Archimedes. Ini salah kaprah, dan sayangnya tidak pernah ada pakar
atau guru yang meluruskannya dengan acuan sejarah yang betul.]
(3) Tentang metode perhitungan Pi disebutkan ...
Hal ini dapat dimengerti karena pada saat itu belum ada suatu
metoda yang dapat digunakan untuk menentukan keliling lingkaran
sesungguhnya, selain menggunakan cara pengukuran. Jadi belum ada
analisa teoritis-matematis yang secara tepat dapat digunakan
untuk menyatakan keliling lingkaran. Sehingga bilangan Archimedes
yang digunakan sampai saat ini adalah sebesar:
Pi (p) = 22/7 = 3,1428571428714.
Pertama, seperti telah dijelaskan diatas, angka 22/7 bukanlah
besaran yang dinyatakan oleh Archimedes sebagai Pi -- itu hanya
batas atas (upper limit). Kedua, sejak Archimedes sudah ada analisa
atau formulasi teoritis-matemtis untuk Pi yang eksak (tidak cuma
satu). Kalau ada perbedaan antar satu dengan yang lain, itu hanyalah
karena ketelitian perhitungan yang berbeda, artinya angka-angka di
belakang titik desimal yang berbeda.panjangnya.
Walau formula teoritis-matematis bisa dinyatakan secara eksak,
bilangan Pi sendiri tidak bisa dituliskan secara eksak. Hal ini
disebabkan bilangan Pi ini (seperti halnya konstanta Euler atau
bilangan Napier, "e") adalah adalah bilangan irrasional (hal ini
telah dibuktikan oleh Lambert pada tahun 1781), artinya angka di
belakang desimal tidak terhingga dan tidak mempunyai pola (pattern)
perulangan. Tidak lama kemudian Lindemann juga membuktikan bahwa
bilangan Pi, selain irrasional, juga transcendental, artinya Pi
(juga "e") bukan merupakan solusi dari persamaan polinomial manapun
yang dengan berkoefisien bulat (integer).
(4) Mengenai "Kesalahan Bilangan Napiere" ...
"Bilangan Napiere yang dilambangkan dengan notasi e, adalah sebuah
bilangan logaritma natural dengan nilai e = 2,718281828. Atau
dapat dirumuskan sebagai berikut: ex = 1 + x + (1/2!) x2 + (1/3!)
x3 + ......... + (1/n!) xn
....
Jadi masih sulit untuk menentukan nilai e dengan metoda primitif
tersebut, dengan alat hitung apa pun tak mampu. Namun yang
bersangkutan menemukan nilai bilangan Napiere baru e = 2,7261
(pembulatan) atau koreksi kesalahannya = 0,287 %."
Seperti penjelasan Pi diatas, formula untuk bilangan e adalah eksak,
sedangkan representasi angkanya tidak pernah bisa dilakukan secara
eksak, karena sifatnya yang irrasional. Harap diingat bahwa formula
diatas bukan satu-satunya. Masih banyak formula lain yang lebih
efisien untuk menghitung bilangan e -- dan dengan komputer modern,
jutaan angka dibelakang titik desimal bida didapat tanpa kesulitan
yang berarti.
Entah bagaimana mendapatkan bilangan Napiere "baru" e = 2,7261,
tetapi jelas bahwa angka yang "ditemukan" oleh peneliti muda diatas
bukan bilangan e yang sesungguhnya.
(5) Selanjutnya ditulis tentang "Reevaluasi Dunia Sains Melalui
Upaya Perbaikan Nilai Bilangan Archimedes dan Napiere" ...
"Pada tahun 1988, peneliti usia muda yang energik tersebut, telah
berhasil menemukan metode analitis matematis tersebut dan
menamakannya dengan "Metode Nusantara". Lebih jauh lagi ia
memperbaiki nilai bilangan Archimedes dan nilai bilangan Napiere
dengan nilai ketepatan 100%."
Bagaimana mungkin kita mau memperbaiki sesuatu kalau kita sendiri
belum memahami apa yang akan diperbaiki? Tanpa bermaksud mematahkan
semangat "otak-atik" peneliti muda ini, saya anjurkan untuk banyak
membaca, terutama supaya mengerti dulu apa yang sudah pernah
dilakukan orang sebelumnya. Dalam kasus ini, dan banyak hal pada
umumnya, "pengertian" akan satu konsep jauh lebih penting daripada
"menemukannya [kembali]."
Jarang sekali penemuan itu murni muncul dari daya kreasi otak seorang
individu, seolah jatuh dari langit begitu saja. Bilangan Pi Archimedes
dan logaritma Napier merupakan contoh yang sedikit itu. Sebagian
besar penemuan merupakan hasil akhir dari proses evolusi panjang
dari ide yang diolah oleh pemikiran orang lain berpuluh-puluh tahun
bahkan berabad-abad sebelumnya.
Bacaan yang relevan dan sangat bagus sehubungan dengan tulisan ini:
1. Petr Beckman, "A History of Pi" (Hippocrene Books, 1990)
2. Eli Maor, "e: The Story of a Number" (Princeton U Press, 1998)
--
Moko Darjatmoko
[EMAIL PROTECTED]
Madison, Wisconsin
-----------------------------------------------------------------
Unsubscribe: kirim e-mail ke [EMAIL PROTECTED]
atau dng mengirim email ke relayer itb-net di tempat masing masing
------------------------------------------------------------------