Na verdade, não. Uma idéia é fazer indutivamente: suponha que (a^29 - 1)/(a -
1) tem k fatores primos distintos. Considere, então, a^2 no lugar de a:
fatorando, obtemos
((a^2)^29 - 1)/(a^2 - 1) = ((a^29 - 1)/(a - 1))((a^29 + 1)/(a + 1))
O mdc de a^29 + 1 com a^29 - 1 e a - 1 é no máximo 2 (para observar isso, se d
é o mdc de a^29 + 1 e a - 1, basta notar que se d divide a - 1 então divide
a^29 - 1 e, como d divide a^29 + 1, d divide a diferença, que é 2), então deve
aparecer um fator primo novo em (a^29 + 1)/(a + 1), que é inteiro. Deste modo,
((a^2)^29 - 1)/(a^2 - 1) tem mais um fator primo novo, tendo k+1 fatores primos.
Isso quser dizer que, digamos, ((2^(2^2007))^29 - 1)/(2^(2^2007) - 1) tem pelo
menos 2007 fatores primos (neste caso, a = 2^(2^2007)). Na época, tínhamos
conseguido uma fatoração que mostra que há 2007 primos distintos diretamente,
mas não lembro exatamente como era. Alguém se habilita?
[]'s
Shine
----- Original Message ----
From: vitoriogauss <[EMAIL PROTECTED]>
To: obm-l <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, December 14, 2007 1:34:07 PM
Subject: [obm-l] [obm-l] questão da OBM
> Colegas....
>
> A respeito da questão (a^29 - 1)/a-1... para provar que há 2007 fatores primos
só por congruência???
> Grato
>
Vitório Gauss
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