Jordan Piva
Mon, 27 Apr 2009 17:36:08 -0700
Interessante voltarem nesse assunto, pq curiosamente hj estava lendo um livro do elon de forma despretenciosa (meu professor de matematico e suas historias), um livro ateh entao dedicado a professores do ensino medio, alunos da graduacao (ou ateh do proprio ensino medio) que gostam de matemática. mas eis que me surge o então: Teorema de Gelfond Schneider de forma muito interessante, vejamos: Um problema interessante que muitos devem ter visto no ensino medio eh: quantas raizes tem a equacao 2^x = x^2? Quem jah teve a oportunidade de vê-lo sabe que é um problema bem interessante e que suas solucoes óbvias são: x=2 e x=4, mas o interessante é que quando desenhamos o gráfico dessas funções percebemos que existe uma outra raiz negativa (desenhem). E em geral nos perguntamos como achá-la, depois de um tempo percebemos que o problema não nos pede as solições e sim quantas são as raízes. Bem aqueles que gostam de matemática no mínimo devem ficar intrigados para saber como achar essa raiz de forma analítica (lembremos que no ensino médio não vemos soluções numéricas) e mesmo que tenhamos visto sempre é interessante tentar ter uma idéia algébrica para resolvê-lo, mas aonde quero chegar? Através do Teorema podemos mostrar que não existe solução algébrica para essa equação, vejamos: Primeiro mostramos que x não pode ser racional: se x = -p/q (lembre que pelo grafico sabe-se que x eh negativo) então: 2^(-p/q) = (-p/q)^2 => p^(2q) * 2^p = q^(2p) Quando p é impar temos um número impar de 2 do lado direito enquanto na esquerda temos um número par, absurdo. Se p é par como sempre podemos considerar p/q irredutivel entao q é ímpar assim o lado direito é divisível por 2 mas o esquerdo não, também absurdo. Assim x é irracional. Se existisse solução algébrica, teríamos 2 e x algébricos (sendo x irracional), assim por Gelfonde Schneider: 2^x é transendente. Por outro lado obviamente x^2 é algébrico, absurdo. Assim não existe solução algébrica. Muito legal isso. Tinha até esquecido desse problema. O livro tem várias coisas interessantes, deve ter na internet sei lah. É isso. Abraçs Date: Mon, 27 Apr 2009 13:52:18 -0700 From: bousk...@ymail.com Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! O Vidal (grande Vidal!) me ensinou o seguinte teorema: Teorema de Gelfond-Schneider: SE “a” e “b” são números algébricos E “b” é irracional, ENTÃO a^b é transcendente (portanto, irracional). Aí é só fazer o caso particular: a=b=sqrt(2) ... algébricos ( x^2=2 ) e irracionais (é óbvio!). Logo, sqrt(2)^sqrt(2) é transcendente (não-algébrico), portanto, irracional. Sds., Albert bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em seg, 27/4/09, Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com> escreveu: De: Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com> Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 27 de Abril de 2009, 18:52 Olá Marcone, suponha que sqrt(2)^sqrt(2) sera racional.. logo: sqrt(2)^sqrt(2) = p/q elevando a sqrt(2), temos: [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) = (p/q)^(sqrt(2)) mas [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) = sqrt(2)^(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)^2 = 2 assim: (p/q)^(sqrt(2)) = 2 humm... nao estou conseguindo achar a contradicao.. preciso pensar mais.. hehehe mas tenho que sair agora.. tento novamente de noite.. mas acho q o caminho eh esse.. abraços, Salhab 2009/4/23 marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com> caiu no provao de 2000:raiz de 2 elevado a raiz de 2 é racional ou irracional?Ja vi na lista,achei q tinha entendido,mas agora tento localizar a explicação e nao consigo From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Date: Thu, 23 Apr 2009 14:20:34 -0300 Muito Obrigado pela resposta Bouskela (posso te chamar assim?), adorei o livro, há muitas coisas interessantes nele. Grande Abraço, João Victor Date: Tue, 21 Apr 2009 10:30:22 -0700 From: bousk...@ymail.com Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! Lamento não ter respondido antes... Felizmente, o caso particular x^3 + y^3 = z^3 do chamado Último Teorema de Fermat é muito simples. Veja, por exemplo, o item 10.1 - El caso p=3 no livro Teoría de Números do Carlos Ivorra Castillo ( http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf ). Saudações, AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em ter, 14/4/09, Joao Maldonado <joao_maldonad...@yahoo.com.br> escreveu: De: Joao Maldonado <joao_maldonad...@yahoo.com.br> Assunto: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 14 de Abril de 2009, 21:18 Preciso de ajuda para resolver um problema do sigma test. Tenho que provar que nao há solução inteira para a equacao x³ + y³ = z³, para x,y,z diferentes de 0. Sem que Andrew Wiles já fez muito mais provanto o último teorema (ou conjectura) de Fermat provando que não há solução inteira para a equação x^n + y^n = z^n, mas não achei nenhuma demonstração e pelo que pesquisei ela tem mais de 200 páginas. Algém conseguiria me provar, de uma forma simples, esse problema? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Turbine seu Messenger com emoticons! Clique já, é GRÁTIS! Imagem de exibição animada? Só com o novo Messenger. Baixe agora! 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