Cher(e)s collègues,
J’ai le plaisir de vous inviter à la deuxième séance du Groupe de travail
Axiomes et définitions, qui aura lieu le 11 avril dans la Bibliothèque du
Centre Granger, Maison de la Recherche, 2e étage, Aix-Marseille Université,
Aix-en-Provence.
Le groupe de recherche a pour objectif d’étudier l’histoire des systèmes de
principes en mathématiques et leurs épistémologies sous-jacentes. Nous
travaillons au développement des systèmes d’axiomes en arithmétique et en
géométrie de l’Antiquité à l’Age classique, sur l’évolution du sens des
principes au fil des siècles, à l’évolution des relations entre définitions et
axiomes.
Coordination : Vincenzo de Risi (CNRS, SPHERE), Paola Cantù (Centre G.-G.
Granger et CNRS)
Séance du 11 avril 2019 - 13h30 à 16h30
Intervenants :
13h30-14h45 David Rabouin, Définitions et axiomes chez Leibniz
15h15-16h30 Gabriella Crocco, « Définition et raison » : le rôle des
définitions contextuelles dans la conception de rapports entre science et
philosophie
David Rabouin, Définitions et axiomes chez Leibniz
À de nombreuses reprises, Leibniz a avancé que les démonstrations mathématiques
pouvaient se résoudre en deux indémontrables : les définitions et les axiomes –
eux-mêmes réductibles en dernière instance aux seuls « identiques »
(demonstrationes ultimum resolvi in duo indemonstrabilia: Definitiones seu
ideas, et propositiones primitivas, nempe identicas). En s’appuyant sur la
célèbre démonstration de « 2 + 2 = 4 » dans les Nouveaux Essais sur
l’entendement humain (IV, chap. 7, § 10 ; A VI, 6, 413-414), Frege a vu dans
cette déclaration le premier témoignage d’une forme de logicisme. À l’aide de
l’identité logique, définie par la substitution salva veritate, et de la
définition du nombre deux comme « 1 +1 », on peut, en effet, dériver tous les
énoncés arithmétiques par simple substitution. Ne restait plus dès lors qu’à
consolider l’édifice en donnant une définition purement logique de l’unité (et
avant l’unité, du nombre zéro). Cette lecture a joué un très grand rôle dans
l’int
erprétation de Leibniz jusqu’à nos jours, y compris chez ceux qui contestent
l’interprétation « logiciste » et se contentent souvent de rejeter en bloc le
rôle de la réduction aux identiques. On objecte alors, comme le faisaient déjà
Cassirer et Brunschvicg, que la réduction aux identiques est un idéal que
Leibniz n’a jamais mis en pratique et qui n’a de valeur que fondationnelle.
Dans cet exposé, je voudrais montrer que cette fracture classique du
commentaire repose sur deux erreurs d’appréciations : d’un côté, les
interprétations « logicistes » n’ont pas pris en compte le fait que les axiomes
« identiques » s’énoncent en un pluriel que Leibniz n’a jamais cherché à
résorber (j’expliquerai pourquoi) ; de l’autre, les interprétations plus
centrées sur la pratique mathématique n’ont pas vu que la stratégie de
réduction aux identiques est bien au cœur de la pratique mathématique de
Leibniz. J’essayerai d’expliquer comment et pourquoi cette stratégie s’est mise
en place, en mont
rant au passage la manière dont elle a conduit à une nouvelle vue sur les
définitions mathématiques très proches de ce qui fut appelé bien plus tard «
définitions par abstraction ».
Gabriella Crocco, « Définition et raison » : le rôle des définitions
contextuelles dans la conception de rapports entre science et philosophie
La notion de définition contextuelle joue un rôle clefs dans les débats
épistémologiques de la philosophie des sciences du XIXe et XXe. Présentée par
Quine dans Naturalized Epistémology (1967), comme le résultât de la réflexion
de Jeremy Bentham, elle marque en réalité, selon J. Vuillemin l’acte de
séparation entre réflexion philosophique et constitution de la science
mathématique. Nous nous intéresserons en particulier à l’analyse de la
définition eudoxienne de l’identité des rapports dans Euclide 5, livre V,
laquelle joue dans l’ouvre de Vuillemin un rôle crucial, étant par lui
interprétée comme la première irruption du formalisme dans les mathématiques.
_______________________
Paola Cantu'
Chercheur CNRS (CRCN)
Centre Gilles Gaston Granger. Epistémologie Comparative.
UMR 7304 - Aix-Marseille Université
Faculté de Lettres - Maison de la Recherche
29, Av. Robert Schuman - 13621 Aix-en-Provence Cedex 1 - France
+33(0)782543935
[email protected]
http://centregranger.cnrs.fr/spip.php?article141
--
Pour toute question, la FAQ de la liste se trouve ici:
https://www.vidal-rosset.net/
