[Educasup] Groupe de travail Axiomes et dĂ©finitions, S éance du 11 avril 2019, Aix-en-Provence

Thu, 21 Mar 2019 00:44:23 -0700 


Cher(e)s collègues,
        
J’ai le plaisir de vous inviter à la deuxième séance du Groupe de travail 
Axiomes et définitions, qui aura lieu le 11 avril dans la Bibliothèque du 
Centre Granger, Maison de la Recherche, 2e étage, Aix-Marseille Université, 
Aix-en-Provence. 

Le groupe de recherche a pour objectif d’étudier l’histoire des systèmes de 
principes en mathématiques et leurs épistémologies sous-jacentes. Nous 
travaillons au développement des systèmes d’axiomes en arithmétique et en 
géométrie de l’Antiquité à l’Age classique, sur l’évolution du sens des 
principes au fil des siècles, à l’évolution des relations entre définitions et 
axiomes. 

Coordination : Vincenzo de Risi (CNRS, SPHERE), Paola CantĂą (Centre G.-G. 
Granger et CNRS)
        
        SĂ©ance du 11 avril 2019 - 13h30 Ă  16h30

Intervenants :

13h30-14h45 David Rabouin, DĂ©finitions et axiomes chez Leibniz  
15h15-16h30 Gabriella Crocco, « Définition et raison » : le rôle des 
définitions contextuelles dans la conception de rapports entre science et 
philosophie 


David Rabouin, DĂ©finitions et axiomes chez Leibniz  

À de nombreuses reprises, Leibniz a avancé que les démonstrations mathématiques 
pouvaient se résoudre en deux indémontrables : les définitions et les axiomes – 
eux-mêmes réductibles en dernière instance aux seuls « identiques » 
(demonstrationes ultimum resolvi in duo indemonstrabilia: Definitiones seu 
ideas, et propositiones primitivas, nempe identicas). En s’appuyant sur la 
célèbre démonstration de « 2 + 2 = 4 » dans les Nouveaux Essais sur 
l’entendement humain (IV, chap. 7, § 10 ; A VI, 6, 413-414), Frege a vu dans 
cette déclaration le premier témoignage d’une forme de logicisme. À l’aide de 
l’identité logique, définie par la substitution salva veritate, et de la 
définition du nombre deux comme « 1 +1 », on peut, en effet, dériver tous les 
énoncés arithmétiques par simple substitution. Ne restait plus dès lors qu’à 
consolider l’édifice en donnant une définition purement logique de l’unité (et 
avant l’unité, du nombre zéro). Cette lecture a joué un très grand rôle dans 
l’int
 erprétation de Leibniz jusqu’à nos jours, y compris chez ceux qui contestent 
l’interprétation « logiciste » et se contentent souvent de rejeter en bloc le 
rôle de la réduction aux identiques. On objecte alors, comme le faisaient déjà 
Cassirer et Brunschvicg, que la réduction aux identiques est un idéal que 
Leibniz n’a jamais mis en pratique et qui n’a de valeur que fondationnelle. 
Dans cet exposé, je voudrais montrer que cette fracture classique du 
commentaire repose sur deux erreurs d’appréciations : d’un côté, les 
interprétations « logicistes » n’ont pas pris en compte le fait que les axiomes 
« identiques » s’énoncent en un pluriel que Leibniz n’a jamais cherché à 
résorber (j’expliquerai pourquoi) ; de l’autre, les interprétations plus 
centrées sur la pratique mathématique n’ont pas vu que la stratégie de 
réduction aux identiques est bien au cœur de la pratique mathématique de 
Leibniz. J’essayerai d’expliquer comment et pourquoi cette stratégie s’est mise 
en place, en mont
 rant au passage la manière dont elle a conduit à une nouvelle vue sur les 
définitions mathématiques très proches de ce qui fut appelé bien plus tard « 
définitions par abstraction ». 



Gabriella Crocco, « Définition et raison » : le rôle des définitions 
contextuelles dans la conception de rapports entre science et philosophie 

La notion de définition contextuelle joue un rôle clefs dans les débats 
épistémologiques de la philosophie des sciences du XIXe et XXe. Présentée par 
Quine dans Naturalized Epistémology (1967), comme le résultât de la réflexion 
de Jeremy Bentham, elle marque en réalité, selon J. Vuillemin l’acte de 
séparation entre réflexion philosophique et constitution de la science 
mathématique. Nous nous intéresserons en particulier à l’analyse de la 
définition eudoxienne de l’identité des rapports dans Euclide 5, livre V, 
laquelle joue dans l’ouvre de Vuillemin un rôle crucial, étant par lui 
interprétée comme la première irruption du formalisme dans les mathématiques.
        

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Paola Cantu'
Chercheur CNRS (CRCN)
Centre Gilles Gaston Granger. Epistémologie Comparative. 
UMR 7304 - Aix-Marseille Université
Faculté de Lettres - Maison de la Recherche 
29, Av. Robert Schuman - 13621 Aix-en-Provence Cedex 1 - France
+33(0)782543935
paola.ca...@univ-amu.fr
http://centregranger.cnrs.fr/spip.php?article141




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