Thanks Daniel, this is interesting. It really works on the simple
example. Therefore, I tried to apply the same method to the more complex
case, but then dvips seem to crash and consequently no images are
written to images.pdf. I run:
latex2html -nouse_pdftex example_l2h.tex >& example_l2h.log
both the source code and log file are attached. Can you please help me
in figuring out what's going on?
Thanks a lot, cheers,
Tomas
On 1/21/21 5:56 PM, Daniel Gildea wrote:
Your picture seems to be working for me:
https://www.cs.rochester.edu/~gildea/test/mypicture/node1.html
I used "latex2html -nouse_pdftex" to make this. Are you using
any other command line options, or config files, for latex2html?
Can you send the output of latex2html?
Dan
On Thu, January 21, 2021 at 4:38PM, Tomas Davidek wrote:
Thanks Daniel (and sorry for being late with the answer), the fixes in
/usr/bin/latex2html you proposed really fix the issue with subequation
numbering.
One more rather general issue - if I understood well, all environments "not
known" to latex2html are processed with (pdf)latex and a picture of the
corresponding part is included in the HTML instead, right? Nevertheless, I
have a picture environment (example is attached). When processing this
simple example, the first picture appears in the web page. The 2nd one does
not. Well, it requires the axohelp command to be run at some point and I
don't know how to achieve that. Any idea, please?
Then I have a more complex case with exactly the same simple LaTeX picture
(figure 1 in the above example). This one is not processed and does not
appear in the Web page. Hmm, I checked the generated images.pdf file and it
is not there, but I cannot see any error message in the images.log file....
It is not even in the images.tex file.... So, somehow the filter did not
dump it to the images.tex.... Where should I look to figure out what
happened?
Thanks a lot for any hint.
Best regards, Tomas
On 1/8/21 5:45 PM, Daniel Gildea wrote:
Hi,
I wonder if you could try commenting out the lines
shown in the attached patch in the latex2html script.
This seems to make the numbering work better for me.
I don't know why the character encoding wouldn't match
the charset tag. Can you send an example file and tell
me what command line options you are using?
Dan
On Fri, January 8, 2021 at 3:55PM, Tomas Davidek wrote:
Hi Dan,
thanks for the mail. Well, I tried to prepare a short example (attached),
but this one works perfectly. I have a much larger project that I would like
to convert to HTML. I can't send it as a whole tarball right now, but just
to give you a flavour what wrong I attach a snapshot of one page (pdf is
attached). As you can see, the subequations are numbered as 2.7a - 2.7c (but
they should in fact be 2.8a - 2.8c). Moreover, the last sentence refers to
one of the subequations (p_{\parallel}), but here the "correct" number
appears (2.8b).
It is very strange, I should experiment more with that. I double-checked
that I processed both the simple example and the complex case in the same
way. First I thought the complex case needs one more run of latex to produce
the references correctly, but I ran latex/pdflatex before I launched
latex2html.... Looking into aux-file, the equation numbers are correct (i.e.
2.8a - 2.8c), so I really don't understand why the picture of the three
subequations is produced with incorrect number. Can you suggest another test
I can perform?
One more item that worries me - latex2html systematically puts
charset=iso-8859-2 into the corresponding meta tag, even if the text is
encoded in UTF-8. Is there a way to force latex2html to enter the specified
charset in every html page?
Thanks a lot,
cheers,
Tomas
On 1/8/21 2:57 PM, Daniel Gildea wrote:
Hi,
Could you send a small example file for each of these problems?
Dan
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
Pro popis interakcí částic se často používají i~tzv.~Mandelstamovy
invarianty\index{Mandelstamovy invarianty} $s, t,
u$. Představme si interakci dvou částic (1,\,2) za vzniku obecně jiných
částic (3,\,4)
\begin{equation}
\label{eq:interaction}
1 + 2 \rightarrow 3 + 4
\end{equation}
Mandelstamovy invarianty jsou pak definovány vztahy
\begin{subequations}
\begin{align}
\label{eq:mandelstam_s}
s & \equiv (P_1 + P_2)^2 \\
\label{eq:mandelstam_t}
t & \equiv (P_1 - P_3)^2 \\
\label{eq:mandelstam_u}
u & \equiv (P_1 - P_4)^2
\end{align}
\end{subequations}
Invariant $s$ zjevně představuje kvadrát celkové energie soustavy v~jejím
těžišťovém systému (CMS), invarianty $t, u$ lze vyjádřit pomocí $s$ a úhlu
vylétajících částic v~CMS.
The velocity $\beta$ is defined as
\begin{equation}
\label{eq:beta_def}
\vec{\beta} \equiv \vec{v}/c
\end{equation}
This is the reference to sub-equations
(\ref{eq:mandelstam_s})--(\ref{eq:mandelstam_u}).
\end{document}
\documentclass[11pt]{report}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{a4}
\usepackage{axodraw2}
\newcommand{\gev}{\ifmmode \mathrm{GeV}\else GeV\fi}
\newcommand{\mev}{\ifmmode \mathrm{MeV}\else MeV\fi}
\newcommand{\kev}{\ifmmode \mathrm{keV}\else keV\fi}
\newcommand{\ele}{\ensuremath{\mathrm{e}^{-}}}
\newcommand{\pozitron}{\ensuremath{\mathrm{e}^{+}}}
\newcommand{\photon}{\ensuremath{\mathrm{\gamma}}}
\begin{document}
\chapter{Jednotky}
\label{sec:Jednotky}
\index{jednotky|(}
Ve fyzice částic se z~praktických důvodů veličiny energie ($E$),
hybnost ($p$) a hmota\footnote{Pro elementární částice používáme
termín hmota, nikoli hmotnost. Termínem hmota vždy rozumíme
hmotu částice v~jejím klidovém systému, což je ekvivalentní její
klidové energii.} ($m$) udávají ve
stejných jednotkách, a~to v~jednotkách
energie, tedy v~násobcích eV (eV, MeV, GeV, \dots).
Pracujeme tedy ve skutečnosti s~veličinami $E$, $pc$, $mc^2$,
které ovšem zapisujeme jako $E$, $p$ a $m$.
Tím se výrazně zjednodušují vztahy mezi jednotlivými kinematickými
proměnnými, např.\ pro celkovou energii částice pak platí
relativistický vztah
\begin{equation}
\label{eq:total_energy}
E = \sqrt{p^2 + m^2},
\end{equation}
kde $p$ je hybnost a $m$ klidová hmota částice.
Při výpočtech budeme často používat součin rychlosti světla $c$ a
Planckovy konstanty, proto je velmi užitečné si zapamatovat výslednou
hodnotu:
\begin{equation}
\label{eq:hc}
\hbar c \doteq 0{,}197~\mathrm{fm}\cdot\gev
\end{equation}
Poznamenejme, že v~některé literatuře %(především v~teoretických pracích)
se používá soustava jednotek
\begin{displaymath}
c = \hbar = 1,
\end{displaymath}
tj.~tyto konstanty ve výrazech jednoduše nevystupují. Při číselných
výpočtech však musíme \uv{doplnit} příslušné mocniny $c$ a $\hbar$ tak, aby
výsledná jednotka odpovídala SI\@. Hodnota $\hbar c$ ze
vztahu~(\ref{eq:hc}) pak představuje převodní
faktor mezi veličinami s~rozměrem délky a energie.
V~této knize budeme pro lepší orientaci čtenářů používat obě zmíněné
konstanty $\hbar$ i $c$. Jedinou výjimkou je vyjádření hybnosti a hmoty částic
v~energetických jednotkách, jak je uvedeno výše.
\index{jednotky|)}
\begin{figure}
\centering
\setlength{\unitlength}{0.5mm}
\begin{picture}(60,100)
% \put(0,0){\framebox(60,100){}}
\put(5,5){\makebox(0,0)[c]{a)}}
\put(20,50){\vector(0,1){50}}
\put(20,50){\vector(0,-1){50}}
%
\put(45,50){\makebox(0,0)[c]{$\vec{P}=\vec{0}, M$}}
\put(35,75){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}_1, m_1$}}
\put(35,25){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}_2, m_2$}}
\thinlines
\put(20,50){\circle*{15}}
\end{picture}\hfill%
\begin{picture}(180,100)
% \put(0,0){\framebox(180,100){}}
\put(5,5){\makebox(0,0)[c]{b)}}
\put(20,50){\vector(0,1){50}}
\put(20,50){\vector(0,-1){50}}
%
\put(45,50){\makebox(0,0)[c]{$\vec{P}=\vec{0}, M$}}
\put(35,75){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}_{12}, m_{12}$}}
\put(35,25){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}_3, m_3$}}
\thinlines
\put(20,50){\circle*{15}}
\thicklines
\put(85,50){\makebox(0,0)[c]{\LARGE $\oplus$}}
\put(130,50){\vector(1,1){40}}
\put(130,50){\vector(-1,-1){40}}
\put(160,50){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}^{\,*}_{12} = \vec{0}, m_{12}$}}
\put(135,75){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}^{\,*}_1, m_1$}}
\put(125,25){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}^{\,*}_2, m_2$}}
\thinlines
\put(130,50){\circle*{15}}
\end{picture}
\caption{Schéma dvoučásticového rozpadu (a) a
tříčásticový rozpad (b) nahlížený jako dva po sobě jdoucí
dvoučásticové rozpady, každý ve svém těžišťovém systému.}
\label{fig:rozpad_1_2_3}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\setlength{\unitlength}{0.5mm}
\begin{picture}(140,100)
\SetScale{1.42} % default to 1 => 1pt (1/72 inch). Now scaled
% to 0.5mm (72/25.4)
\ArrowLine(0,50)(50,50) \put(10,44){\makebox(0,0)[c]{\ele}}
\ArrowLine(50,50)(90,80) \put(75,60){\makebox(0,0)[c]{\ele}}
\Photon(50,50)(90,20){2}{5.5} \put(75,40){\makebox(0,0)[c]{\photon}}
\Vertex(50,50){2}
\ArrowLine(90,80)(136,100) \put(115,85){\makebox(0,0)[c]{\ele}}
\Photon(90,80)(130,50){2}{5.5} \put(110,55){\makebox(0,0)[c]{\photon}}
\Vertex(90,80){2}
\ArrowLine(90,20)(135,40) \put(115,37){\makebox(0,0)[c]{\ele}}
\ArrowLine(90,20)(135,0) \put(115,2){\makebox(0,0)[c]{\pozitron}}
\Vertex(90,20){2}
\end{picture}
\caption{Schéma elektromagnetické spršky vytvořené vysokoenergetickým
elektronem.}
\label{fig:ele_shower}
\end{figure}
\end{document}
This is LaTeX2HTML Version 2020.2 (Released July 1, 2020)
by Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds.
Revised and extended by:
Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan and others
...producing markup for HTML version 5.0
Extension: loading /usr/share/latex2html/versions/unicode.pl
*** Constructing conversion utf-8 -> Unicode ***
HTML version: loading /usr/share/latex2html/versions/html5_0.pl
*** processing declarations ***
OPENING /home/davidek/tex/example_l2h.tex
Note: Working directory is /home/davidek/tex/example_l2h
Note: Images will be generated in /tmp/l2h34472
texexpand V2020.2 (Released July 1, 2020)
Loading /usr/share/latex2html/styles/texdefs.perl...
Package: loading /usr/share/latex2html/styles/report.perl
Package: loading /usr/share/latex2html/styles/babel.perl
Extension: loading /usr/share/latex2html/versions/lang.pl [czech]
Loading /usr/share/latex2html/styles/czech.perl
Package: loading /usr/share/latex2html/styles/inputenc.perl
Package: loading /usr/share/latex2html/styles/graphicx.perl
Package: loading /usr/share/latex2html/styles/graphics-support.perl
Package: loading /usr/share/latex2html/styles/getimagesize.perl
Package: loading /usr/share/latex2html/styles/amsmath.perl
Package: loading /usr/share/latex2html/styles/more_amsmath.perl
Package: loading /usr/share/latex2html/styles/hyperref.perl
Warning: No implementation found for option: `unicode' for `hyperref' package
Reading ...
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%'',,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
*** redefining \thepage ***
,
*** redefining \thepage ***
++...................................................................................$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
Cannot open example_l2h.aux No such file or directory
Translating ...
0/14:top of example_l2h: for example_l2h.html
*** translating preamble ***
....
*** redefining \topfraction ***
.
*** redefining \bottomfraction ***
.
*** redefining \textfraction ***
......
Warning: No implementation found for option: `unicode' for `hyperref' package
.
*** preamble done ***
;..,.........
*** redefining \thepage ***
;...
1/14:tableofcontents:.."Obsah" for node1.html
;;..
2/14:chapterstar:."Předmluva" for node2.html
;........
*** redefining \thepage ***
;......
3/14:chapter:...."Jednotky" for node3.html
;,,...,,,,,,,.,..,,.,,...,,,,.,,;..............
4/14:chapter:..."Kinematika" for node4.html
;,,,,,,,,.;..
5/14:section:...."Čtyřhybnosti a Mandelstamovy invarianty" for node5.html
;,..,...,,..,..,,,..;............
6/14:section:...."Lorentzova transformace" for node6.html
;.,..,,...,..,,,..,,,,,..,..,.;..........
7/14:section:...."Rozpady částic" for node7.html
;,..,...,...,..,,,,,..,,..,,,,,...,,,,.....,..;..............
8/14:section:...."Fázový objem, luminosita, účinný průřez" for node8.html
;.;..
9/14:subsection:......"Fázový objem" for node9.html
;,,...,...,..,,,,,,...,,,...,..,,,...,..,,..,..,,,,..,,,,....,,,..,,,,...,..,,,.;.....................................
10/14:subsection:....."Účinný průřez, luminosita" for node10.html
;,...,,,,..,...,,,..,,,,..,,,,,,,...,,..,,,...,,.,,...,,..,,,,,,,,.......,.,,.;.............................
11/14:section:...."Rapidita, pseudorapidita" for node11.html
;,..,,,,,...,..,,........,.,,,..,,,.,..,,,,..,,..,.,,,,.;.....................
12/14:section:...."Pohyb nabité částice v~magnetickém poli" for node12.html
;,..,,,,.;....
13/14:bibliography:.."Literatura" for node13.html
;,..........;
14/14:chapterstar:.."About this document ..." for node14.html
;;.
.
Doing footnotes ...
Writing image file ...
Translating images to DVI using latex ...
This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020/Debian) (preloaded format=latex)
restricted \write18 enabled.
entering extended mode
(./images.tex
LaTeX2e <2020-10-01> patch level 2
L3 programming layer <2020-10-27> xparse <2020-03-03>
*** processing images ***
/usr/bin/dvips ./images.dvi
This is dvips(k) 2020.1 Copyright 2020 Radical Eye Software (www.radicaleye.com)
' TeX output 2021.01.22:1019' -> images.ps
</usr/share/texlive/texmf-dist/dvips/base/tex.pro>
</usr/share/texlive/texmf-dist/dvips/l3backend/l3backend-dvips.pro>
</usr/share/texlive/texmf-dist/dvips/base/texps.pro>
</usr/share/texlive/texmf-dist/dvips/base/special.pro>
</usr/share/texlive/texmf-dist/dvips/base/color.pro>.
</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr6.pfb>
</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi6.pfb>
</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi8.pfb>
</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy8.pfb>
</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy10.pfb>
</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb>
</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb>
</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr8.pfb>
</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb>[1]
[2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18]
[19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33]
[34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48]
[49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63]
[64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78]
[79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93]
[94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107]
[108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120]
[121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133]
[134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146]
[147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154]
Error: /typecheck in --div--
Operand stack:
1 0 0.0 -0.000942511 a 65781.8
Execution stack:
%interp_exit .runexec2 --nostringval-- --nostringval-- --nostringval-- 2 %stopped_push --nostringval-- --nostringval-- --nostringval-- false 1 %stopped_push 1990 1 3 %oparray_pop 1989 1 3 %oparray_pop 1977 1 3 %oparray_pop 1833 1 3 %oparray_pop --nostringval-- %errorexec_pop .runexec2 --nostringval-- --nostringval-- --nostringval-- 2 %stopped_push --nostringval-- --nostringval-- --nostringval-- --nostringval-- 4 --nostringval-- %repeat_continue --nostringval--
Dictionary stack:
--dict:733/1123(ro)(G)-- --dict:0/20(G)-- --dict:107/200(L)-- --dict:184/300(L)--
Current allocation mode is local
Current file position is 216078
GPL Ghostscript 9.53.3: Unrecoverable error, exit code 1
Error:
Wrong page range given: the first page (125) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (53) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (22) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (36) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (39) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (42) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (86) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (6) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (8) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (9) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (18) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (19) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (21) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (25) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (28) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (31) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (37) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (47) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (48) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (57) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (65) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (66) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (70) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (72) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (73) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (75) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (78) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (79) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (80) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (81) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (82) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (85) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (94) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (97) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (101) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (108) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (110) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (116) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (118) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (129) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (135) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (139) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (142) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (146) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (148) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (151) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (2) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (3) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (4) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (5) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (7) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (10) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (11) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (12) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (13) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (14) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (15) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (16) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (17) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (20) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (23) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (24) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (26) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (27) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (29) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (30) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (32) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (33) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (34) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (35) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (38) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (40) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (41) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (43) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (44) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (45) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (46) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (49) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (50) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (51) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (52) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (54) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (55) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (56) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (58) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (59) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (60) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (61) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (62) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (63) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (64) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (67) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (68) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (69) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (71) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (74) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (76) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (77) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (83) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (84) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (87) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (88) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (89) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (90) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (91) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (92) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (93) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (95) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (96) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (98) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (99) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (100) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (102) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (103) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (104) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (105) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (106) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (107) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (109) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (111) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (112) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (113) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (114) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (115) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (117) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (119) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (120) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (121) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (122) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (123) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (124) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (126) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (127) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (128) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (130) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (131) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (132) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (133) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (134) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (136) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (137) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (138) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (140) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (141) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (143) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (144) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (145) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (147) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (149) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (150) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (152) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (153) can not be after the last page (1).
Wrong page range given: the first page (154) can not be after the last page (1).
Doing section links ......
Doing table of contents ..............................
Copying navigation icons ...
*** Adding document-specific styles ***
*********** WARNINGS ***********
redefining command \thepage
The example_l2h.aux file was not found, so sections will not be numbered
and cross-references will be shown as icons.
No number for "Schémadvoučásticovéhorozpadu(a)atříčásticovýrozpad(b)nahlíženýjakodvaposobějdoucídvoučásticovérozpady,každývesvémtěžišťovémsystému."
Unknown commands: uv cleardoublepage
Done.
\documentclass[a4paper,twoside,11pt]{report}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
% \usepackage{a4wide,epsfig,amssymb,amsmath,ifthen,subfigure}
\usepackage{amsmath}
% \usepackage{axodraw}
% \usepackage{pict2e}
% \usepackage{nicefrac}
% \usepackage{slashed}
%
% \usepackage{dcolumn}
% \newcolumntype{d}[1]{D{,}{,}{#1}}
% \newcolumntype{.}{D{,}{,}{-1}}
%
\usepackage[unicode]{hyperref}
\newcommand{\gev}{\ifmmode \mathrm{GeV}\else GeV\fi}
\newcommand{\mev}{\ifmmode \mathrm{MeV}\else MeV\fi}
\newcommand{\kev}{\ifmmode \mathrm{keV}\else keV\fi}
% Kinematika:
%% Proton, neutron, jejich energie (E, E') a hybnosti (p, p')
%\newcommand{\proton}{\ifmmode \mathrm{p}\else p\fi}
%\newcommand{\neutron}{\ifmmode \mathrm{n}\else n\fi}
\newcommand{\proton}{\ensuremath{\mathrm{p}}}
\newcommand{\neutron}{\ensuremath{\mathrm{n}}}
\newcommand{\En}{\ensuremath{E_{\mathrm{n}}}}
\newcommand{\Ep}{\ensuremath{E_{\mathrm{p}}}}
\newcommand{\Enp}{\ensuremath{{E_{\mathrm{n}}^{\prime}}}}
\newcommand{\Epp}{\ensuremath{{E_{\mathrm{p}}^{\prime}}}}
\newcommand{\pn}{\ensuremath{p_{\mathrm{n}}}}
\newcommand{\pp}{\ensuremath{p_{\mathrm{p}}}}
\newcommand{\pnp}{\ensuremath{{p_{\mathrm{n}}^{\prime}}}}
\newcommand{\ppp}{\ensuremath{{p_{\mathrm{p}}^{\prime}}}}
\newcommand{\pcms}{\ensuremath{p_{\mathrm{cms}}}}
%% Elektron, neutrino a jejich kinematicke promenne:
\newcommand{\ele}{\ensuremath{\mathrm{e}^{-}}}
\newcommand{\pozitron}{\ensuremath{\mathrm{e}^{+}}}
\newcommand{\nuele}{\ensuremath{\mathrm{\nu}_{\mathrm{e}}}}
\newcommand{\anuele}{\ensuremath{\bar{\mathrm{\nu}}_{\mathrm{e}}}}
\newcommand{\mel}{\ensuremath{m_{\mathrm{e}}}}
\newcommand{\Ee}{\ensuremath{E_{\mathrm{e}}}}
\newcommand{\pe}{\ensuremath{p_{\mathrm{e}}}}
\newcommand{\pnu}{\ensuremath{p_{\nu}}}
%% Mion a jeho neutrino
\newcommand{\muon}{\ensuremath{\mathrm{\mu}}}
\newcommand{\muonplus}{\ensuremath{\mathrm{\mu}^+}}
\newcommand{\muonminus}{\ensuremath{\mathrm{\mu}^-}}
\newcommand{\numuon}{\ensuremath{\mathrm{\nu}_{\mathrm{\mu}}}}
\newcommand{\anumuon}{\ensuremath{\bar{\mathrm{\nu}}_{\mathrm{\mu}}}}
%% Piony a foton
\newcommand{\pion}{\ensuremath{\mathrm{\pi}}}
\newcommand{\pionplus}{\ensuremath{\mathrm{\pi}^+}}
\newcommand{\pionminus}{\ensuremath{\mathrm{\pi}^-}}
\newcommand{\pionzero}{\ensuremath{\mathrm{\pi}^0}}
\newcommand{\photon}{\ensuremath{\mathrm{\gamma}}}
%% Hmota protonu, neutronu a pi0
\newcommand{\mpr}{\ensuremath{m_{\mathrm{p}}}}
\newcommand{\mne}{\ensuremath{m_{\mathrm{n}}}}
\newcommand{\mpizero}{\ensuremath{m_{\pionzero}}}
%% Fazove objemy:
\newcommand{\dd}{\ensuremath{\mathrm{d}}}
\newcommand{\mfi}{\ensuremath{\mathcal{M}_{\mathrm{fi}}}}
\newcommand{\lumi}{\mathcal{L}}
%% Lorentzova transformace:
\newcommand{\plong}{\ensuremath{p_{\|}}}
\newcommand{\ptrans}{\ensuremath{p_{\perp}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Dolet:
\newcommand{\Tmax}{\ensuremath{T_{\mathrm{max}}}}
%
% Objevy castic:
\def\prvek#1#2#3{\relax\ifmmode{}^{#2}{\protect\text{#1}}_{#3}\else${}^{#2}\mathrm{#1}_{#3}$\fi}
%\newcommand{\prvek}[3]{\ensuremath{^{{#2}}\!{\mathrm{{#1}}}_{{#3}}}}
\newcommand{\Tfermi}{\ensuremath{T_{\mathrm{F}}}}
\newcommand{\Tp}{\ensuremath{T_{\mathrm{p}}}}
%
% Magneticky moment:
% Toto je řešení pana Wagnera, líbí se mi nejméně:
% \newcommand{\kernzlomek}{\kern -.4ex}
% \newcommand{\zlomek}[2]{\ensuremath{\mbox{\footnotesize
% \raisebox{.5ex}{#1}}\kernzlomek/\kernzlomek
% {\mbox{\footnotesize {#2}}\space\ignorespaces}}}
% \newcommand{\half}{\zlomek{1}{2}} %
% \newcommand{\mhalf}{$\mbox{-}$\zlomek{1}{2}} %
%
% Řešení přes nicefrac:
\newcommand{\zlomek}[2]{\nicefrac{#1}{#2}}
\newcommand{\half}{\nicefrac{1}{2}}
\newcommand{\mhalf}{\ensuremath{\nicefrac{-1}{2}}}
%
% případně řešení velmi podobné:
% \def\zlomok#1/#2{\leavevmode\kern0.1em% % zlomok v texte...
% \raise0.65ex\hbox{\rm\the\scriptfont0 #1}\kern-0.2em%
% {\it /}\kern-0.1em\lower0.56ex\hbox{\rm\the\scriptfont0 #2}}
% \newcommand{\zlomek}[2]{\zlomok#1/#2}
%
\newcommand{\castice}[2][]{\ensuremath{\mathrm{#2}_{\mathrm{#1}}}}
% Podivne castice:
\newcommand{\Kminus}{\ensuremath{\mathrm{K}^-}}
\newcommand{\Kplus}{\ensuremath{\mathrm{K}^+}}
\newcommand{\Kzero}{\ensuremath{\mathrm{K}^0}}
\newcommand{\KzeroS}{\ensuremath{\mathrm{K}^0_{\mathrm{S}}}}
\newcommand{\KzeroL}{\ensuremath{\mathrm{K}^0_{\mathrm{L}}}}
\newcommand{\Lambdazero}{\ensuremath{\mathrm{\Lambda}^0}}
\newcommand{\Lambdapart}{\ensuremath{\mathrm{\Lambda}}} % no charge sign
%
%
% Kvantova cisla:
\newcommand{\kaon}{\ensuremath{\mathrm{K}}}
\newcommand{\barnum}{\ensuremath{\mathcal{B}}}
\newcommand{\lepnum}{\ensuremath{\mathcal{L}}}
%
% Kvarkovy model:
\newcommand{\quark}[1]{\ensuremath{\mathrm{#1}}}
\newcommand{\aquark}[1]{\ensuremath{\bar{\mathrm{#1}}}}
% - baryony:
\newcommand{\Sigmaminus}{\ensuremath{\mathrm{\Sigma}^-}}
\newcommand{\Sigmazero}{\ensuremath{\mathrm{\Sigma}^0}}
\newcommand{\Sigmaplus}{\ensuremath{\mathrm{\Sigma}^+}}
\newcommand{\Ximinus}{\ensuremath{\mathrm{\Xi}^-}}
\newcommand{\Xizero}{\ensuremath{\mathrm{\Xi}^0}}
\newcommand{\Deltaminus}{\ensuremath{\mathrm{\Delta}^-}}
\newcommand{\Deltazero}{\ensuremath{\mathrm{\Delta}^0}}
\newcommand{\Deltaplus}{\ensuremath{\mathrm{\Delta}^+}}
\newcommand{\Deltaplusplus}{\ensuremath{\mathrm{\Delta}^{++}}}
\newcommand{\Omegaminus}{\ensuremath{\mathrm{\Omega}^-}}
% - mezony:
\newcommand{\etazero}{\ensuremath{\mathrm{\eta}^0}}
\newcommand{\etazerop}{\ensuremath{\mathrm{\eta}^{0\,\prime}}}
\newcommand{\Kzerobar}{\ensuremath{\bar{\mathrm{K}}^{0}}}
\newcommand{\rhominus}{\ensuremath{\mathrm{\rho}^-}}
\newcommand{\rhozero}{\ensuremath{\mathrm{\rho}^0}}
\newcommand{\rhoplus}{\ensuremath{\mathrm{\rho}^+}}
\newcommand{\omegazero}{\ensuremath{\mathrm{\omega}^0}}
\newcommand{\phizero}{\ensuremath{\mathrm{\phi}^0}}
\newcommand{\thv}{\ensuremath{\theta_{\mathrm{V}}}}
%
% Objevy 2
\newcommand{\Jpsi}{\ensuremath{\mathrm{J/\psi}}}
\newcommand{\psiprime}{\ensuremath{\mathrm{\psi}^\prime}}
\newcommand{\cabibbo}{\ensuremath{\theta_\mathrm{C}}}
\newcommand{\Wplus}{\ensuremath{\mathrm{W}^+}}
\newcommand{\Wminus}{\ensuremath{\mathrm{W}^-}}
\newcommand{\tauon}{\ensuremath{\mathrm{\tau}}}
\newcommand{\tauplus}{\ensuremath{\mathrm{\tau}^+}}
\newcommand{\tauminus}{\ensuremath{\mathrm{\tau}^-}}
\newcommand{\nutau}{\ensuremath{\mathrm{\nu}_{\mathrm{\tau}}}}
% \newcommand{\Ups}{\ensuremath{\mathrm{\Upsilon}}}
% \newcommand{\Upsprime}{\ensuremath{\mathrm{\Upsilon}^\prime}}
% \newcommand{\UpsTwoprime}{\ensuremath{\mathrm{\Upsilon}^{\prime\prime}}}
% \newcommand{\UpsThreeprime}{\ensuremath{\mathrm{\Upsilon}^{\prime\prime\prime}}}
%
% Leptony:
\newcommand{\Zzero}{\ensuremath{\castice{Z}^0}}
% Neutralni mezony:
\newcommand{\Dzero}{\ensuremath{\mathrm{D}^0}}
\newcommand{\Dzerobar}{\ensuremath{\bar{\mathrm{D}}^0}}
\newcommand{\DzeroH}{\ensuremath{\mathrm{D}^0_{\mathrm{H}}}}
\newcommand{\DzeroL}{\ensuremath{\mathrm{D}^0_{\mathrm{L}}}}
\newcommand{\Bzero}{\ensuremath{\mathrm{B}^0}}
\newcommand{\Bzerobar}{\ensuremath{\bar{\mathrm{B}}^0}}
\newcommand{\BzeroH}{\ensuremath{\mathrm{B}^0_{\mathrm{H}}}}
\newcommand{\BzeroL}{\ensuremath{\mathrm{B}^0_{\mathrm{L}}}}
\newcommand{\Bzeros}{\ensuremath{\mathrm{B}^0_{\mathrm{s}}}}
\newcommand{\Bzerosbar}{\ensuremath{\bar{\mathrm{B}}^0_{\mathrm{s}}}}
\newcommand{\BzerosH}{\ensuremath{\mathrm{B}^0_{\mathrm{s},\mathrm{H}}}}
\newcommand{\BzerosL}{\ensuremath{\mathrm{B}^0_{\mathrm{s},\mathrm{L}}}}
\newcommand{\Mzero}{\ensuremath{\mathrm{M}^0}}
\newcommand{\Mzerobar}{\ensuremath{\bar{\mathrm{M}}^0}}
\newcommand{\MzeroH}{\ensuremath{\mathrm{M}^0_{\mathrm{H}}}}
\newcommand{\MzeroL}{\ensuremath{\mathrm{M}^0_{\mathrm{L}}}}
%% Oscilace neutrin:
\newcommand{\Ne}{\ensuremath{N_{\castice{e}}}}
\newcommand{\thcms}{\theta_{\mathrm{cms}}}
\newcommand{\thlab}{\theta_{\mathrm{lab}}}
%% W,Z,top,Higgs
\newcommand{\thW}{\ensuremath{\theta_{\mathrm{w}}}}
\newcommand{\mw}{\ensuremath{m_{\castice{W}}}}
\newcommand{\mz}{\ensuremath{m_{\castice{Z}}}}
\newcommand{\mtw}{\ensuremath{m_{\mathrm{T}}}} % {\ensuremath{m_{T,\castice{W}}}}
\newcommand{\Higgs}{\ensuremath{\mathrm{H}^0}}
%% Dalsi definice:
\def\Repart{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Impart{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
% \hyphenation{Gell-Man\,--\,Oku-bo Gell-Mann\,--\,Oku-bo-va
% Gell-Mann\,--\,Oku-bo-vy Gell-Mann\,--\,Oku-bo-vu Gor-dan
% Clebsch\,--\,Gor-da-no-vých had-ron had-ro-nů}
% \hyphenation{Oku-bo-va Oku-bo-vy Oku-bo-vu Gor-dan
% Gor-da-no-vých had-ron had-ro-nů}
% nastaveni pro obrazky a tabulky:
\setcounter{topnumber}{2}
\setcounter{bottomnumber}{2}
\setcounter{totalnumber}{4}
%
\renewcommand\topfraction{1}
\renewcommand\bottomfraction{1}
\renewcommand\textfraction{0}
% \usepackage{index}
% \newindex{default}{idx}{ind}{Rejstřík}
\begin{document}
%\newwrite\mac@write
% \makeatletter
% \immediate\openout\mac@write bul.mac
% \makeatother
\setlength{\extrarowheight}{1pt}
%\showhyphens{Clebsch--Gordanových Gell-Mann--Okubova}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pagestyle{empty}
\begin{center}
{\LARGE\bf \
Elementární částice\\
od prvních objevů po současné experimenty\\}
\vspace*{5cm}
Tomáš Davídek, Rupert Leitner\\
%%% \vspace*{8cm}
%%% (verze \today)
\end{center}
\cleardoublepage
\pagestyle{plain}
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\thepage}{\roman{page}}
\tableofcontents
\cleardoublepage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% uvod_3.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter*{Předmluva}
Předkládaná kniha o~experimentální fyzice elementárních částic vznikla
na základě přednášek pro studenty magisterského a doktorského
studia Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy. Přednášky
vedl R.L.\ a cvičení T.D., posledních několik let se na přednášení podílíme
společně. V~této době vznikl i~tento text.
V~knize jsme se pokusili (v~řadě případů stručně) postihnout vývoj
experimentálních základů částicové fyziky a doplnit je řadou
příkladů, které tvoří nedílnou součást textu. Pro lepší pochopení
předkládané problematiky jsme zařadili i~detailní postup řešení
vybraných příkladů.
Zájemce o~podrobnější informace o~experimentálních základech fyziky
elementárních částic odkazujeme na knihu \uv{Experimental foundations
of Particle Physics} autorů R.~Cahna a G.~Goldhabera.
Prvních deset kapitol popisuje objevy nejdůležitějších částic a jevů
v~částicové fyzice. Kromě toho se kniha věnuje také dosud otevřeným
otázkám v~současném experimentálním výzkumu fyziky elementárních
částic. Je zde zařazena kapitola o~soustavách neutrálních mezonů K, D
a B, poměrně podrobně je popsána problematika oscilací neutrin a
nechybí současný stav experimentálního hledání Higgsova
bosonu. V~těchto kapitolách je zúročena osobní zkušenost
z~experimentálního
výzkumu, zejména z~experimentu ATLAS na urychlovači LHC v~CERN (T.D.\ a
R.L.) a neutrinového experimentu Daya Bay (R.L.).
%%%%%%%%%%%
Sluší se poznamenat, že
problematice elementárních částic je věnována i~kniha \uv{Úvod do
fyziky elementárních částic} J.~Žáčka z~roku 2005. Ač se obě knihy věnují
stejným či podobným tématům, uspořádání výkladu je odlišné. Kniha
J.~Žáčka také z~pochopitelných důvodů neobsahuje některé nové
experimentální výsledky, např.~v~oblasti Higgsova bosonu či oscilací neutrin.
%%%%%%%%%%
Děkujeme kolegům J.~Dolejšímu, J.~Hořejšímu,
J.~Novotnému, M.~Sukovi a P.~Závadovi za konzultace při přípravě textu
a studentu V.~Pleskotovi za kritické přečtení všech kapitol a příkladů.
\vspace*{3cm}
%%{\flushleft Praha}, duben 2012\hfill Rupert Leitner, Tomáš Davídek
\cleardoublepage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\thepage}{\arabic{page}}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% jednotky_1.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Jednotky}
\label{sec:Jednotky}
\index{jednotky|(}
Ve fyzice částic se z~praktických důvodů veličiny energie ($E$),
hybnost ($p$) a hmota\footnote{Pro elementární částice používáme
termín hmota, nikoli hmotnost. Termínem hmota vždy rozumíme
hmotu částice v~jejím klidovém systému, což je ekvivalentní její
klidové energii.} ($m$) udávají ve
stejných jednotkách, a~to v~jednotkách
energie, tedy v~násobcích eV (eV, MeV, GeV, \dots).
Pracujeme tedy ve skutečnosti s~veličinami $E$, $pc$, $mc^2$,
které ovšem zapisujeme jako $E$, $p$ a $m$.
Tím se výrazně zjednodušují vztahy mezi jednotlivými kinematickými
proměnnými, např.\ pro celkovou energii částice pak platí
relativistický vztah
\begin{equation}
\label{eq:total_energy}
E = \sqrt{p^2 + m^2},
\end{equation}
kde $p$ je hybnost a $m$ klidová hmota částice.
Při výpočtech budeme často používat součin rychlosti světla $c$ a
Planckovy konstanty, proto je velmi užitečné si zapamatovat výslednou
hodnotu:
\begin{equation}
\label{eq:hc}
\hbar c \doteq 0{,}197~\mathrm{fm}\cdot\gev
\end{equation}
Poznamenejme, že v~některé literatuře %(především v~teoretických pracích)
se používá soustava jednotek
\begin{displaymath}
c = \hbar = 1,
\end{displaymath}
tj.~tyto konstanty ve výrazech jednoduše nevystupují. Při číselných
výpočtech však musíme \uv{doplnit} příslušné mocniny $c$ a $\hbar$ tak, aby
výsledná jednotka odpovídala SI\@. Hodnota $\hbar c$ ze
vztahu~(\ref{eq:hc}) pak představuje převodní
faktor mezi veličinami s~rozměrem délky a energie.
V~této knize budeme pro lepší orientaci čtenářů používat obě zmíněné
konstanty $\hbar$ i $c$. Jedinou výjimkou je vyjádření hybnosti a hmoty částic
v~energetických jednotkách, jak je uvedeno výše.
\index{jednotky|)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%%%%%%%% kinematika_5.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Kinematika}
\label{sec:Kinematika}
Všechny kinematické vztahy se opírají %o~jednoduché
o~zákony zachování
energie a hybnosti. V~mnoha případech ale můžeme s~výhodou použít
formalismus Mandelstamových invariantů, díky
kterým podoba příslušných vztahů nezávisí na výběru souřadné soustavy.
Tato kapitola také stručně shrnuje Lorentzovu
transformaci, kinematiku rozpadů částic, fázové objemy,
účinné průřezy a luminositu. Tyto pojmy budeme využívat
v~následujících kapitolách.
Pro přehlednost používáme v~textu tato označení:
\begin{itemize}
\item $E$ je celková energie částice. Kinetickou energii označujeme
$T$, přičemž $T \equiv E - m$.
\item Velikosti hybností označujeme malými písmeny (např.~$p_1$),
jde-li o~vektor, je označen $\vec{p}_1$. Platí tedy $p_1 \equiv
|\vec{p}_1|$.
\item Čtyřhybnosti\index{čtyřhybnost} značíme vždy velkými písmeny,
tedy $P \equiv (E,\vec{p})$.
\end{itemize}
\section{Čtyřhybnosti a Mandelstamovy invarianty}
\label{sec:mandelstam}
Při řešení úloh z~kinematiky často s~výhodou využijeme zápis pomocí
tzv.~čtyřhybností
\begin{equation}
\label{eq:four-impuls}
P \equiv \bigl(E, \vec{p}\bigr)
\end{equation}
% Jejich nultou složkou je celková energie částice, další tři složky
% představují její hybnost. Snadno nahlédneme, že rovnost čtyřhybností
% je vyjádřením zákonů zachování energie a hybnosti.
Snadno nahlédneme, že zachování čtyřhybností je vyjádřením zákonů
zachování energie a hybnosti.
%
Pro čtyřhybnosti definujeme skalární součin tak, aby výsledek
byl relativisticky invariantní (příklad~\ref{ex:scalar_product}). Proto
\begin{equation}
\label{eq:scalar_product}
P_1\cdot P_2 \equiv E_1 E_2 - \vec{p}_1\cdot\vec{p}_2
\end{equation}
Z~uvedené definice ihned plyne, že kvadrát čtyřhybnosti představuje
druhou mocninu klidové hmoty částice.
Pro popis interakcí částic se často používají i~tzv.~Mandelstamovy
invarianty\index{Mandelstamovy invarianty} $s, t,
u$. Představme si interakci dvou částic (1,\,2) za vzniku obecně jiných
částic (3,\,4)
\begin{equation}
\label{eq:interaction}
1 + 2 \rightarrow 3 + 4
\end{equation}
Mandelstamovy invarianty jsou pak definovány vztahy
\begin{subequations}
\begin{align}
\label{eq:mandelstam_s}
s & \equiv (P_1 + P_2)^2 \\
\label{eq:mandelstam_t}
t & \equiv (P_1 - P_3)^2 \\
\label{eq:mandelstam_u}
u & \equiv (P_1 - P_4)^2
\end{align}
\end{subequations}
Invariant $s$ zjevně představuje kvadrát celkové energie soustavy v~jejím
těžišťovém systému (CMS), invarianty $t, u$ lze vyjádřit pomocí $s$ a úhlu
vylétajících částic v~CMS, viz~příklad~\ref{ex:s_t_u_relation}.
Jednoduché příklady lze řešit přímo jako soustavy rovnic dané
zákony zachování energie a hybnosti (viz~příklady~\ref{ex:np-np},
\ref{ex:rozpad_neutronu_1}). Mnohem jednodušší je však využít výše
uvedený formalismus, ať už Mandelstamovy invarianty (např.~pro určení
prahové energie reakce, viz~příklad~\ref{ex:prah_pi0}) či algebru
čtyřhybností (viz~příklad~\ref{ex:rozpad_neutronu_2}).
\section{Lorentzova transformace}
\label{sec:Lorentz_boost}
Lorentzova transformace\index{Lorentzova transformace} spojuje
kinematické veličiny energii a hybnost
ve dvou různých inerciálních vztažných soustavách.
% , přičemž vyhovuje zákonům speciální teorie relativity.
Uvažujme částici, která se v~čárkované soustavě pohybuje rychlostí
\begin{equation}
\label{eq:beta_def}
\vec{\beta} \equiv \vec{v}/c
\end{equation}
ve směru kladné osy $x$ vzhledem k~původní soustavě (neboli
čárkovaná soustava se pohybuje rychlostí $-\vec{\beta}$ vůči původní
soustavě). V~tomto speciálním případě transformace v~jednom
směru\footnote{V~anglické literatuře se obvykle používá termín Lorentz
boost.} má Lorentzova transformace tvar
\begin{equation}
\label{eq:Lorentz_transformace}
P^{\prime} = \left(\begin{array}{cccc}
\gamma & \beta\gamma & 0 & 0 \\
\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) P,
\end{equation}
kde $P, P^{\prime}$ jsou sloupcové vektory čtyřhybností v~prvním,
resp.~druhém souřadném systému a $\gamma$ představuje
známý relativistický faktor: % vzájemného pohybu obou soustav:
\begin{equation}
\label{eq:gamma_def}
\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}
\end{equation}
Maticový
zápis~(\ref{eq:Lorentz_transformace}) lze přepsat do soustavy rovnic
pro jednotlivé komponenty čtyřhybností, kde hybnost $\vec{p}$ rozdělíme na
složku rovnoběžnou ($\plong$) a kolmou ($\ptrans$) vůči směru
vzájemné rychlosti soustav $\vec{\beta}$:
\begin{subequations}
\begin{align}
\label{eq:Lorentz_transformace_general_e}
E^{\prime} & = \gamma \left( E + \vec{\beta}\cdot\vec{p}\right)
= \gamma \left( E + \beta \plong\right)\\
\label{eq:Lorentz_transformace_plong}
\plong^{\prime} & = \gamma\left(\plong + \beta E\right) \\
\label{eq:Lorentz_transformace_ptrans}
\ptrans^\prime & = \ptrans
\end{align}
\end{subequations}
V~obecném případě, tj.~když hybnost částice svírá s~vektorem vzájemné rychlosti
soustav obecný úhel, lze ukázat:
\begin{equation}
\label{eq:Lorentz_transformace_general_p}
\vec{p}\,^{\prime} =
\gamma\left(E+\frac{\gamma}{\gamma+1}\vec{\beta}\cdot\vec{p}\right)\vec{\beta} + \vec{p}
\end{equation}
Snadno nahlédneme, že v~případě $\vec{\beta}\|\vec{p}$ se
vztah~(\ref{eq:Lorentz_transformace_general_p}) redukuje na
vztah~(\ref{eq:Lorentz_transformace_plong}).
\section{Rozpady částic}
\label{sec:rozpady}
Nejjednodušším případem je rozpad mateřské částice na dvě
dceřiné částice. V~klidovém systému rozpadající se částice,
viz~obr.~\ref{fig:rozpad_1_2_3}a, lze jednoduše ze zákonů zachování
hybnosti a energie odvodit vztahy:
\begin{subequations}
\begin{align}
\label{eq:rozpad_1-2_e}
E_{1,2} & = \frac{M}{2} \pm \frac{m_1^2 - m_2^2}{2M}\\ %\frac{M^2-{m_2}^2+{m_1}^2}{2M} \\
\label{eq:rozpad_1-2_p}
p_1 = p_2 = \pcms & = \frac{\sqrt{M^2-(m_1+m_2)^2}
\sqrt{M^2-(m_1-m_2)^2}}{2M},
\end{align}
\end{subequations}
kde $M, m_1, m_2$ jsou hmoty mateřské a dceřiných částic.
U~dvoučásticového rozpadu je jeho kinematika v~těžišťovém systému
určena jednoznačně.\footnote{Dvoučásticový rozpad má 8~parametrů --
čtyřhybnosti dceřiných částic. Ty jsou vázány zákonem zachování
čtyřhybnosti (4~rovnice) a dále relativistickým
vztahem~(\ref{eq:total_energy}) mezi
energií a hybností každé dceřiné částice. Celkem tedy máme $8-4-2 =
2$ volné parametry, což jsou polární a azimutální úhel výletu
dceřiných částic. Tyto úhly ale nemají vliv na velikost energií a
hybností dceřiných částic.}
Složitější je tříčásticový rozpad, na který lze nahlížet jako na dva
po sobě jdoucí dvoučásticové rozpady. Příslušné schéma je znázorněno
na obr.~\ref{fig:rozpad_1_2_3}b. Aplikací vztahu~(\ref{eq:rozpad_1-2_p})
dostáváme:
\begin{subequations}
\begin{align}
\label{eq:rozpad_1-2_p3}
p_{12} = p_3 & = \frac{\sqrt{M^2-(m_{12}+m_3)^2}
\sqrt{M^2-(m_{12}-m_3)^2}}{2M} \\
\label{eq:rozpad_1-2_p1}
p_1^{*} = p_2^{*} & = \frac{\sqrt{m_{12}^2-(m_1+m_2)^2}
\sqrt{m_{12}^2-(m_1-m_2)^2}}{2m_{12}}
\end{align}
\end{subequations}
Hybnost $p_3$ popisuje kinematický stav 3.~částice v~klidovém systému
rozpadající se částice, zatímco hybnost $p_1^{*}$ odpovídá hybnosti
1.~a 2.~částice vzhledem k~jejich těžišti.
Veličiny $M, m_1, m_2, m_3$ jsou hmoty mateřské a dceřiných částic,
$m_{12}$ značí invariantní hmotu\index{invariantní hmota} soustavy
1.~a 2.~částice:
\begin{equation}
\label{eq:def_invariantni_hmota}
m_{12}^2 \equiv \left(E_1 + E_2\right)^2 - \left(\vec{p}_1 + \vec{p}_2\right)^2
\end{equation}
Na rozdíl od dvoučásticového rozpadu zde invariantní hmota $m_{12}$
hraje roli volného parametru, který může nabývat hodnot
\begin{equation}
\label{eq:invariantni_hmota}
m_1 + m_2 \le m_{12} \le M - m_3
\end{equation}
Minimální hodnota $m_{12}$ odpovídá maximální hybnosti $p_3$ a energii
$E_3$ (viz~též příklad~\ref{ex:rozpad_neutronu_2}). Maximální hodnota
$m_{12}$ naopak odpovídá $p_3= 0$.
Poznamenejme, že kinematická konfigurace (tj.~rozdělení energie mezi
dceřiné částice) tříčásticového rozpadu má
celkem dva volné parametry.\footnote{Čtyřhybnosti dceřiných částic
reprezentují
12~parametrů vzájemně vázaných zákonem zachování čtyřhybnosti
(4~rovnice) a pro každou dceřinou částici dále platí relativistický
vztah~(\ref{eq:total_energy}) mezi její energií a hybností (celkem
3~rovnice). Máme tedy $12-4-3=5$ volných parametrů, z~nichž tři úhly
(polární a azimutální úhel výletu třetí částice a azimutální úhel
výletu částic 1,2 vůči směru výletu třetí částice) nemají vliv na
energii a hybnost dceřiných částic. Zbývají tedy
2~volné parametry, např.~invariantní hmota $m_{12}$ a polární úhel výletu
částic 1,2 vůči směru výletu třetí částice, energie 1.~a 3.~částice
nebo invariantní hmoty $m_{12}$ a $m_{23}$.}
\begin{figure}
\centering
\setlength{\unitlength}{0.5mm}
% \begin{picture}(130,100)
% \put(5,5){\makebox(0,0)[c]{a)}}
% \put(0,50){\vector(1,0){57}}
% \put(65,50){\vector(1,1){50}}
% \put(65,50){\vector(1,-1){50}}
% %
% \put(30,42){\makebox(0,0)[c]{$\vec{P}, M$}}
% \put(110,75){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}_1, m_1$}}
% \put(110,25){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}_2, m_2$}}
% \thinlines
% \put(65,50){\circle*{15}}
% \end{picture}\ \ %
% \begin{picture}(130,100)
% \put(5,5){\makebox(0,0)[c]{b)}}
% \put(0,40){\vector(1,0){42}}
% \put(50,40){\vector(1,1){24}}
% \put(80,70){\vector(2,1){50}}
% \put(80,70){\vector(2,-1){50}}
% \put(50,40){\vector(2,-1){60}}
% \thinlines
% \put(50,40){\circle*{15}}
% \put(80,70){\circle*{15}}
% %
% \put(21,32){\makebox(0,0)[c]{$\vec{P}, M$}}
% \put(50,60){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}_{12}, m_{12}$}}
% \put(80,15){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}_3, m_3$}}
% \put(105,92){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}_1, m_1$}}
% \put(105,48){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}_2, m_2$}}
% \end{picture}
% \caption{Schéma dvoučásticového rozpadu (a) a
% tříčásticový rozpad (b) nahlížený jako
% dva po sobě jdoucí dvoučásticové rozpady.}
\begin{picture}(60,100)
% \put(0,0){\framebox(60,100){}}
\put(5,5){\makebox(0,0)[c]{a)}}
\put(20,50){\vector(0,1){50}}
\put(20,50){\vector(0,-1){50}}
%
\put(45,50){\makebox(0,0)[c]{$\vec{P}=\vec{0}, M$}}
\put(35,75){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}_1, m_1$}}
\put(35,25){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}_2, m_2$}}
\thinlines
\put(20,50){\circle*{15}}
\end{picture}\hfill%
\begin{picture}(180,100)
% \put(0,0){\framebox(180,100){}}
\put(5,5){\makebox(0,0)[c]{b)}}
\put(20,50){\vector(0,1){50}}
\put(20,50){\vector(0,-1){50}}
%
\put(45,50){\makebox(0,0)[c]{$\vec{P}=\vec{0}, M$}}
\put(35,75){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}_{12}, m_{12}$}}
\put(35,25){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}_3, m_3$}}
\thinlines
\put(20,50){\circle*{15}}
\thicklines
\put(85,50){\makebox(0,0)[c]{\LARGE $\oplus$}}
\put(130,50){\vector(1,1){40}}
\put(130,50){\vector(-1,-1){40}}
\put(160,50){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}^{\,*}_{12} = \vec{0}, m_{12}$}}
\put(135,75){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}^{\,*}_1, m_1$}}
\put(125,25){\makebox(0,0)[c]{$\vec{p}^{\,*}_2, m_2$}}
\thinlines
\put(130,50){\circle*{15}}
\end{picture}
\caption{Schéma dvoučásticového rozpadu (a) a
tříčásticový rozpad (b) nahlížený jako dva po sobě jdoucí
dvoučásticové rozpady, každý ve svém těžišťovém systému.}
\label{fig:rozpad_1_2_3}
\end{figure}
\section{Fázový objem, luminosita, účinný průřez}
\label{sec:phase_space_lumi_cross_section}
V~této kapitolce se budeme věnovat veličinám souvisejících
s~pravděpodobností interakce či rozpadu částic. Nejprve probereme
problematiku fázového objemu (oddíl~\ref{sec:fazovy_objem}), dále se
zmíníme o~účinném průřezu a luminositě
(oddíl~\ref{sec:cross_section_luminosity}).
\subsection{Fázový objem}
\label{sec:fazovy_objem}
\index{fázový objem}
Fázovým objemem nazýváme velikost fázového prostoru.
Element fázového objemu $\dd\Phi_{n_f}$ pro $n_f$ částic je definován obecným
vztahem\footnote{Faktor $(2\pi)^4$ je věcí konvence. Buď je součástí
definice fázového objemu (náš případ), nebo vystupuje samostatně ve
vztazích~(\ref{eq:cross_section}) a (\ref{eq:decay_width}).}
\begin{equation}
\label{eq:lips_general}
\dd\Phi_{n_f} \equiv \prod\limits_{i=1}^{n_f}\frac{\dd^3
\vec{p}_i}{(2\pi)^32E_i}\,
(2\pi)^4\delta^{(4)}(P-\sum\limits_{i=1}^{n_f}P_i),
\end{equation}
kde $P$ značí součet čtyřhybností částic v~počátečním stavu, $P_i$
($\vec{p}_i$) jsou čtyřhybnosti (hybnosti) jednotlivých částic
v~koncovém stavu.
Přítomnost $\delta$-funkce vyjadřuje zákon zachování čtyřhybnosti.
Faktor $1/((2\pi)^32E_i)$ souvisí s~normou vlnové funkce a je volen tak, aby
maticový element {\mfi} i~fázový objem byly
Lorentz-invariantní\footnote{V~angličtině se používá termín
Lorentz-invariant phase space, LIPS.}. Fázový objem $\Phi_{n_f}$ je
tedy invariantní míra při integraci přes čtyřhybnosti (viz
příklad~\ref{ex:phase_space_invariance}), nejsnáze jej lze počítat
v~těžišťovém systému.
%
Ze vztahů~(\ref{eq:lips_general}) a~(\ref{eq:decay_width}) vidíme, že
rozměr fázového prostoru závisí na počtu částic v~koncovém ($n_f$) stavu
\begin{equation}
\label{eq:phase_space_units}
\left[\Phi_{n_f}\right] = \left(\gev\right)^{2n_f-4}
\end{equation}
Pro element fázového objemu dvoučásticového rozpadu
(viz~obr.~\ref{fig:rozpad_1_2_3}a) plyne ze
vztahu~(\ref{eq:lips_general}), viz též příklad~\ref{ex:lips2}:
\begin{equation}
\label{eq:lips2_element}
\dd\Phi_2(M,m_1,m_2) = \frac{1}{16\pi^2}\,\frac{\pcms}{M}\,\dd\cos\theta\dd\phi
\end{equation}
$M$ je hmota mateřské částice a
{\pcms} je hybnost dceřiných částic v~těžišťovém systému, viz~též
vztah~(\ref{eq:rozpad_1-2_p}).
V~tomto případě vyjadřuje element fázového objemu jen volnost v~tom, do kterých
směrů $\theta, \phi$ se částice rozletí, přičemž všechny směry jsou z~hlediska
fázového objemu stejně pravděpodobné.\footnote{V~rozpadech
polarizovaných částic je netriviální úhlová závislost popsána
maticovým elementem.}
Fázový objem dvoučásticového rozpadu získáme integrací
výrazu~(\ref{eq:lips2_element})
\begin{equation}
\label{eq:lips2}
\Phi_2(M,m_1,m_2) = \frac{1}{4\pi}\,\frac{\pcms}{M}
\end{equation}
Ve speciálním případě $m_1= m_2 = 0$ dostaneme
\begin{equation}
\label{eq:lips2_special}
\Phi_2(M,0,0) = \frac{1}{8\pi}
\end{equation}
V~případě tříčásticového rozpadu je situace složitější.
Na tento problém můžeme nahlížet jako na dva po sobě jdoucí
dvoučásticové rozpady (viz~obr.~\ref{fig:rozpad_1_2_3}b). Pro element fázového
objemu pak platí
\begin{equation}
\label{eq:lips3_element}
\dd\Phi_3(M,m_1,m_2,m_3) = \dd\Phi_2(M, m_{12}, m_3)
\,\dd\Phi_2(m_{12}, m_1, m_2)\, (2\pi)^{-1}\dd m_{12}^2,
\end{equation}
kde invariantní hmota $m_{12}$ hraje
roli jednoho ze dvou volných parametrů kinematické konfigurace
tříčásticového rozpadu (viz kapitolka~\ref{sec:rozpady}).
Uvedený vztah lze dokázat použitím definice~(\ref{eq:lips_general})
na obou stranách rovnice.
Díky netriviální závislosti na invariantní hmotě $m_{12}$ nejsou
všechny elementy fázového objemu tříčásticového objemu stejné a tedy
různé kinematické konfigurace takového rozpadu nejsou obecně stejně
pravděpodobné.
Fázový objem $\Phi_3$ získáme integrací
výrazu~(\ref{eq:lips3_element}).
Jednoduché řešení existuje např.~pro speciální případ rozpadu na nehmotné
částice:%, v~tomto případě dostaneme
\begin{equation}
\label{eq:lips3_massless}
\Phi_3(M,0,0,0) = (2\pi)^{-3}\,\frac{M^2}{32}
\end{equation}
Na rozdíl od dvoučásticového fázového objemu má $\Phi_3$ rozměr
kvadrátu energie, viz~relace~(\ref{eq:phase_space_units}).
Obecně lze fázový objem $\Phi_n$ pro rozpad na $n$ částic určit pomocí
rekurzivního vztahu, který využívá Lorentz-invarianci fázového
objemu~\cite{PDG}:
\begin{align}
\label{eq:lips_recursive}
\Phi_n(P=(M,\vec{0})) & = \int\frac{\dd^3 \vec{p_n}}{(2\pi)^3 2E_n} \,
(2\pi)^4\delta(M- E_n - \sum\limits_{i=1}^{n-1}E_i)
\prod\limits_{i=1}^{n-1}\frac{\dd^3 \vec{p}_i}{(2\pi)^3 2E_i}
\delta^{(3)}(-\vec{p}_n-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\vec{p}_i) = \nonumber\\
& = \int\frac{\dd^3 \vec{p_n}}{(2\pi)^3
2E_n}\Phi_{n-1}(P^\prime=(M-E_n,-\vec{p}_n)) = \nonumber\\
& =
\int\frac{\dd^3 \vec{p_n}}{(2\pi)^3
2E_n}\Phi_{n-1}(P^{\prime\prime}=(\sqrt{(M-E_n)^2-\vec{p}_n^{\;2}},\vec{0}))
\end{align}
Element fázového objemu v~kombinaci s~kvadrátem maticového elementu
je úměrný pravděpodobnosti, s~jakou se daný
proces uskuteční v~určité konfiguraci fázového prostoru. Obě zmíněné veličiny
proto vystupují ve vztazích pro rozpadovou šířku a účinný průřez (viz
oddíl~\ref{sec:cross_section_luminosity}).
Rozpadá-li se částice s~hmotou $M$ na obecně $n_f$ částic, platí pro
rozpadovou šířku vztah~\cite{PDG}
\begin{equation}
\label{eq:decay_width}
\dd\Gamma = \frac{1}{2M}|\mfi|^2\dd\Phi_{n_f},
\end{equation}
kde $\mfi$ je maticový element příslušného rozpadu.
Ze vztahů~(\ref{eq:lips_general}) a~(\ref{eq:decay_width}) vidíme, že
rozměr maticového elementu závisí na počtu
částic v~koncovém ($n_f$) i~počátečním ($n_i$) stavu
\begin{equation}
\label{eq:matrix_element_units}
\left[\mfi\right] = \left(\gev\right)^{4 - n_i - n_f}
\end{equation}
Podívejme se nyní na rozdělení invariantních hmot dvou pionů v~rozpadech částic
\begin{subequations}
\begin{align}
\label{eq:k0long_decay}
\KzeroL & \rightarrow \pionplus + \pionminus + \pionzero\\
\label{eq:dplus_decay}
\mathrm{D}^+ & \rightarrow \pionplus + \pionplus + \Kminus
\end{align}
\end{subequations}
Jelikož všechny částice mají spin rovný nule,
%{\bf (a tedy všechny směry jsou rovnoprávné)},
maticový element rozpadu
neobsahuje žádnou speciální úhlovou závislost. Rozdělení
invariantních hmot je tedy dáno pouze fázovým objemem, příslušná
spektra jsou zobrazena na obr.~\ref{fig:invariant_mass_distrib_example}.
V~prvním případě
jde o~symetrické rozdělení, neboť všechny \pion-mezony mají přibližně
stejnou hmotu. V~případě rozpadu~(\ref{eq:dplus_decay}) jsou
preferovány stavy s~vyšší invariantní hmotou systému $\pion\pion$, což
odpovídá malé hybnosti těžší částice {\Kminus}.
% \begin{figure}
% \centering
% \includegraphics[width=0.49\linewidth]{figures/kinematika/k0long_lips.eps}
% \includegraphics[width=0.49\linewidth]{figures/kinematika/dplus_lips.eps}
% \caption{Normované rozdělení invariantních hmot $\pion\pion$
% v~rozpadech~(\ref{eq:k0long_decay}) (vlevo)
% a~(\ref{eq:dplus_decay}) (vpravo), získané pomocí Monte Carlo
% generátoru {\sc Pythia}~\cite{Pythia}. Teoretická křivka odpovídá
% vztahu~(\ref{eq:lips2}), kde $m_1 = m(\pion\pion)$.}
% \label{fig:invariant_mass_distrib_example}
% \end{figure}
\subsection{Účinný průřez, luminosita}
\label{sec:cross_section_luminosity}
Pojem účinný průřez\index{účinný průřez}
% Účinný průřez je veličina vyjadřující míru pravděpodobnosti určité
% interakce. Zmíněný pojem
lze názorně vysvětlit na následující klasické analogii
interakce částice s~terčem.
Nechť bodová částice nalétá na pevný terč představovaný
tělesem o~průřezu $S$ v~rovině kolmé ke směru letu bodové
částice.\footnote{Je-li terčem koule o~poloměru $r$, pak její průřez
je $S = \pi r^2$.} Ke srážce (interakci) dojde tehdy,
zasáhne-li bodová částice terč, tj.~trefí-li se do plochy o~průřezu
$S$. Tato plocha je právě účinným průřezem interakce bodové částice s~terčem. Jednotkou účinného průřezu je tedy $\mathrm{m}^2$, z~praktických důvodů se ale používá jednotka {\it barn\/} (stodola)
\begin{equation}
\label{eq:def_barn}
1~\mathrm{b} \equiv 10^{-28}~\mathrm{m}^2 = 100~\mathrm{fm}^2
\end{equation}
Barn řádově odpovídá průřezu atomového jádra.
% U~jaderných reakcí či interakcí elementárních částic je účinný průřez
% dán vlastnostmi dané interakce, nikoli pouhým geometrickým průřezem
% částic terče.
Účinný průřez tedy představuje plochu, kterou musí částice zasáhnout,
aby došlo k~dané interakci.
Známe-li účinný průřez ($\sigma$), snadno určíme počet
interakcí za jednotku času $\dd N/\dd t$. Pro interakce částic v~pevném terči platí
\begin{equation}
\label{eq:def_cross_section_fixed_target_general}
\frac{\dd N}{\dd t} = j \left(1- e^{-\sigma\omega}\right),
% \frac{\sigma\rho d
% N_{\mathrm{A}}}{A~[\mathrm{g}/\mathrm{mol}]}}\right),
\end{equation}
kde $j$ je tok svazkových částic (počet částic za jednotku času)
a $\omega$ je tzv.~plošná hustota částic terče. Ta je např.~pro
interakce $\alpha$-částic na jádru dána vztahem
\begin{equation}
\label{eq:def_target_area_density}
\omega \equiv \frac{\rho d}{A~[\mathrm{g}/\mathrm{mol}]}\,N_{\mathrm{A}},
\end{equation}
kde $\rho$ je hustota terče, $d$ značí jeho tloušťku, $A$ je hmotnostní
číslo materiálu terče a $N_{\mathrm{A}}$ je tzv.~Avogadrovo číslo
($N_{\mathrm{A}} \doteq 6{,}022\cdot 10^{23}~\mathrm{mol}^{-1}$).
Pro dostatečně tenký terč, v~němž můžeme zanedbat
vliv úbytku toku částic v~důsledku interakcí v~přední části terče
($\sigma\omega \ll 1$), lze
vztah~(\ref{eq:def_cross_section_fixed_target_general}) zjednodušit:
\begin{equation}
\label{eq:def_cross_section_thin_fixed_target}
\frac{\dd N}{\dd t} = j \left(1- e^{-\sigma\omega}\right) \simeq j
\sigma \omega.
\end{equation}
U~tzv.~vstřícných svazků, kdy spolu interagují částice dvou svazků
letících vzájemně proti sobě, definujeme veličinu luminosita\index{luminosita}
$\lumi$ vztahem~\cite{PDG}:
\begin{equation}
\label{eq:def_luminosity_colliding_beams}
\lumi \equiv f\,\frac{n_1 n_2}{4\pi\sigma_x\sigma_y}
\end{equation}
Zde $f$ značí frekvenci srážek, $n_1, n_2$ jsou počty částic v~obou
svazcích a $\sigma_x, \sigma_y$ charakterizují gaussovské šířky
příčných průřezů svazků.\footnote{Typické rozdělení hustoty částic
svazku v~rovině kolmé ke směru letu částic není rovnoměrné, ale
podléhá Gaussovu normálnímu rozdělení, a~to v~obou osách $x$ a
$y$.} Jmenovatel $4\pi\sigma_x\sigma_y$ odpovídá efektivní příčné ploše
svazků.
Počet interakcí za jednotku času pak snadno určíme pomocí luminosity a
účinného průřezu, neboť platí:
\begin{equation}
\label{eq:interactions_colliding_beams}
\frac{\dd N}{\dd t} = \lumi \sigma
\end{equation}
Účinný průřez interakce typu $2\rightarrow 2$ je dán vztahem~\cite{PDG}
\begin{equation}
\label{eq:cross_section}
\dd\sigma = \frac{(\hbar c)^2 |\mfi|^2}{4\sqrt{(P_1\cdot P_2)^2-m_1^2m_2^2}}\,\dd\Phi_2(P_1+P_2,P_1^\prime,P_2^\prime),
\end{equation}
kde $\mfi \propto \langle f|\hat{H}|i\rangle$ je maticový element
procesu $|i\rangle\rightarrow |f\rangle$ a $m_j$ jsou
hmoty částic vstupujících do interakce. Čtyřhybnosti $P_j,
P_j^\prime$ popisují kinematický stav $j$-té částice v~počátečním
(tj.~před interakcí), resp.~v~koncovém stavu. Veličina $\Phi_2$ je
fázový objem dvou částic v~koncovém stavu (viz
oddíl~\ref{sec:fazovy_objem}).
Jmenovatel ve vztahu~(\ref{eq:cross_section}) je zapsán v~invariantním
tvaru. V~těžišťovém, resp.~laboratorním systému ($|\vec{p}_2| = 0$) platí
\begin{equation}
\label{eq:cross_section_denominator}
\sqrt{(P_1\cdot P_2)^2-m_1^2m_2^2} = \left\{
\begin{array}{ll}
E_1 E_2 |\vec{\beta}_1 - \vec{\beta}_2| \qquad & \mathrm{(CMS)} \\
|\vec{p}_1| m_2 & \mathrm{(LAB)}
\end{array}
\right.
\end{equation}
Poznamenejme nakonec, že obvykle musíme kvadrát
maticového elementu vysčítat přes všechny kvantové konfigurace
v~koncovém stavu a zprůměrovat přes počáteční kvantové
stavy.\footnote{Pro nepolarizované částice jde o~součet přes všechny
spinové konfigurace, viz
např.~oddíl~\ref{sec:detailed_balance}. V~případě interakcí kvarků a
gluonů musíme navíc vysčítat přes všechny barevné stavy~\cite{Chyla}.}
Výsledný kvadrát maticového elementu potom značíme
$\overline{|\mfi|^2}$.
Vraťme se ještě k~rozměru účinného průřezu. Ze
vztahů~(\ref{eq:phase_space_units}), (\ref{eq:matrix_element_units})
vyplývá, že součin $|\mfi(n_i = 2, n_f = 2)|^2\times\Phi_2$ ve
vztahu~(\ref{eq:cross_section}) je bezrozměrný, a~tedy rozměr účinného
průřezu je $(\mathrm{fm})^{2}$.
\section{Rapidita, pseudorapidita}
\label{sec:coordinate_systems}
V~experimentech se často používá veličina rapidita\index{rapidita},
definovaná vztahem
\begin{equation}
\label{eq:def_rapidity}
y \equiv \frac{1}{2}\ln\left(\frac{E+p_z}{E-p_z}\right),
\end{equation}
kde $E$ je energie částice a $p_z$ je složka její hybnosti v~ose
svazku $z$. Všimněme si, že pohybuje-li se částice kolmo k~ose svazku
% {\bf nebo je-li v klidu}
($p_z = 0$), je její rapidita $y=0$. Pro částice pohybující se v~ose
svazku pak absolutní hodnota rapidity nabývá maxima.\footnote{V~limitě
vysokých energií či nulových hmot částic je $y\rightarrow\pm\infty$, viz též
vztah~(\ref{eq:def_pseudorapidity}).}
Při Lorentzově transformaci (viz
kapitolka~\ref{sec:Lorentz_boost}) podél osy $z$ se rapidita mění
velmi jednoduchým způsobem:
\begin{equation}
\label{eq:rapidity_Lorentz_boost}
y^\prime = y + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\beta}{1-\beta}\right)
\end{equation}
Díky této vlastnosti je
rozdíl rapidit dvojice částic (jetů\index{jet}\footnote{Pojmem \uv{jet}
označujeme skupinu částic vylétající ze
srážky v~daném směru. Tyto částice vznikají hadronizací
kvarku/gluonu (viz kapitolka~\ref{sec:strong_interaction}), případně
následným rozpadem takto vzniklých hadronů. Více viz
např.~literatura~\cite{Chyla}.})
Lorentz-invariantní veličina a tvar
jakéhokoli rozdělení v~rapiditě $\dd N/\dd y$ je
invariantní vůči Lorentzově transformaci.
V~limitě vysokých energií $p \gg m$ je rapidita ekvivalentní
pseudorapiditě\index{pseudorapidita} $\eta$, která je definována vztahem
\begin{equation}
\label{eq:def_pseudorapidity}
\lim_{p\rightarrow\infty}y =
\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right) =
-\ln\left(\tg\frac{\theta}{2}\right) \equiv \eta,
\end{equation}
kde $\theta$ je polární úhel výletu částice.
V~detektorech se tak obvykle vyjadřují úhlové souřadnice pomocí
pseudorapidity $\eta$ a azimutálního úhlu $\phi$.
Pseudorapidity lze využít i~při zkoumání interakcí kosmického
záření v~jaderných emulzích.
Změříme-li pseudorapidity jednotlivých produktů interakce primární
částice, odpovídá střední hodnota rozdělení těchto pseudorapidit druhému
členu na pravé straně vztahu~(\ref{eq:rapidity_Lorentz_boost}). Odsud
pak určíme rychlost primární částice.
Při studiu úhlového rozdělení se často používá veličina
\begin{equation}
\label{eq:def_chi}
\chi \equiv e^{|\eta_1 - \eta_2|}
\end{equation}
V~těžišťové soustavě
dvoučásticového systému platí $\eta_1 = -\eta_2$ a tedy
% podle vztahu~(\ref{eq:rapidity_Lorentz_boost}) je
$|\eta_1-\eta_2| =
2|\eta_1|$. Pro rozdělení veličiny $\chi$ proto v~těžišťovém systému platí
\begin{equation}
\label{eq:dN_de2eta}
\frac{\dd N}{\dd\chi} = 2\,\frac{\dd
N}{\dd\cos\theta}\,\sin^4\frac{\theta}{2},
\end{equation}
viz příklad~\ref{ex:dN_de2eta}.
%
Pro úhlové rozdělení částic rozptýlených potenciálem ve tvaru $1/r$
(např.~coulombický rozptyl na bodové částici) platí
% Z~Rutherfordova experimentu %(viz např.~\cite{AJC})
% víme, že pro rozptyl elementární částice na bodovém terči platí
\begin{equation}
\label{eq:Rutherford_angular_distribution}
\frac{\dd N}{\dd\cos\theta} \propto \frac{1}{\sin^4\frac{\theta}{2}}
\end{equation}
V~takovém případě je tedy rozdělení $\dd N/\dd\chi$ rovnoměrné,
odchylky od rovnoměrného rozdělení jsou pak známkou vnitřní struktury
terče.
Veličina $\chi$ se používá také při zkoumání možné vnitřní struktury kvarků
ve srážkách proton--(anti)proton\index{baryony!proton}, kde $\eta_i$
jsou pseudorapidity obou
jetů ve dvoujetových případech. Rozdělení $\dd
N/\dd\chi$ není rovnoměrné díky složitějším úhlovým závislostem v~interakcích kvarků a gluonů~\cite{Chyla}, nicméně odchylky od
teoreticky předpovězeného rozdělení $\dd N/\dd\chi$ slouží k~hledání
nových, dosud nepopsaných, jevů.
\section{Pohyb nabité částice v~magnetickém poli}
\label{sec:track_in_magnetic_field}
Pohybuje-li se nabitá částice v~magnetickém poli, je její dráha tímto
polem zakřivena. Ze zakřivení lze pak určit hybnost částice,
resp.~složku hybnosti v~rovině kolmé k~vektoru magnetické indukce:
\begin{equation}
\label{eq:momentum_in_magnetic_field}
p~[\gev] = 0{,}3\cdot |z|\cdot B~[\mathrm{T}]\cdot R~[\mathrm{m}],
\end{equation}
kde $z$ je náboj částice v~jednotkách elementárního náboje, $B$ je
velikost vektoru magnetické indukce a $R$ je poloměr dráhy částice v~rovině kolmé k~vektoru $\vec{B}$. Tento vztah snadno odvodíme z~rovnosti odstředivé a Lorentzovy (magnetické) síly, viz též
příklad~\ref{ex:momentum_in_magnetic_field}.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{thebibliography}{99}
%% Jednotky:
\bibitem{PDG} K.~Nakamura et al. (Particle Data Group), {\it The
Review of Particle Physics}, J.~Phys.~G~37, 075021 (2010)
%%
%% Kinematika:
\bibitem{Pythia} T.~Sj\"{o}strand, S.~Mrenna, P.~Skands, {\it
Pythia6.4 Physics and Manual}, JHEP 05 (2006) 026,
viz.~též {\tt http://projects.hepforge.org/pythia6}
% \bibitem{Landau} V.~B.~Berestetskii, E.~M.~Lifshitz, L.~P.~Pitaevskii,
% {\it Quantum Electrodynamics}, 2nd edition, Oxford 1982
\bibitem{Chyla} J.~Chýla, {\it Quarks, Partons and Quantum
Chromodynamics}, http://www-hep2.fzu.cz/\~{}chyla/lectures/text.pdf
\end{thebibliography}
\end{document}
_______________________________________________
latex2html mailing list
latex2html@tug.org
https://tug.org/mailman/listinfo/latex2html
