Aos colegas que entendem de Traduções e Teoria de Modelos, Tenho umas perguntas meio longas. Se alguém tiver paciência, interesse e puder responder, ajudaria bastante. Se não, não tem importância, a amizade continua :)
Estou com a seguinte dúvida: sejam L1 e L2 as linguagens (enumeráveis) de dois sistemas lógicos de primeira ordem S1 e S2. Pelo menos um deles é não-clássico. Suponha que eu tenha definido uma par de funções de tradução. f leva fórmulas de L1 a fórmulas de L2 e g leva fórmulas de L2 a fórmulas de L1. Suponha também que eu tenha demonstrado o seguinte resultado sobre esta tradução: Para qualquer conjunto de fórmulas Gama e fórmula A de L1 e qualquer conjunto de fórmulas Delta e fórmula B de L2 valem: 1. Gama |=(S1) A => f(Gama) |=(S2) f(A) 2. Delta |=(S2) B => g(Delta) |=(S1) g(B) 3. |=(S1) A <-> g(f(A)) 4. |=(S2) B <-> f(g(B)) -------- onde, "|=(Si)" é consequência lógica em Si, e "<->" é biimplicação sintática. Obviamente estou assumindo que há biimplicação nos dois sistemas e que ela funciona neles como a biimplicação clássica. -------- Ou seja, tenho um tipo de tradução bastante forte, e com propriedades estudadas por alguns de vocês! Agora suponha que C seja uma sentença de Li que é n-categórica em Si. Ou seja, todos os seus modelos têm domínios com exatamente n elementos. Por exemplo, a sentença ExVy(x=y) é 1-categórica na lógica clássica, pois só terá modelos com domínios unitários. Bem, finalmente, minhas perguntas. (i) Existe algum resultado que garante, dada uma tradução com as propriedades 1 a 4 descritas acima, que se A é n-categórica então f(A) também será n-categórica, ou conversamente, se B é n-categórica então g(B) também será n-categórica? Ou seja, uma tradução com as propriedades 1 a 4 acima preserva a n-categoricidade? (i') Se no lugar de 1 a 4 acima eu tivesse 1' a 4' descritas não em termos da consequência lógica (|=) mas em termos de dedutibilidade (|-), a resposta de (i) poderia ser diferente? Obviamente neste caso estou assumindo que S1 e S2 têm procedimentos de prova corretos e completos com relação às suas respectivas semânticas. (ii) Seja [n_i] o conjunto de classes de equivalência (segundo a relação de isomorfismo entre modelos) de modelos n-categóricos de Si. E seja |[n_i]| a cardinalidade (tamanho) deste conjunto. Por exemplo, |[3_2]| representa a quantidade de modelos não isomórficos relativos à lógica S2 que têm exatamente 3 elementos no domínio. Bem, a pergunta é, dados S1, S2 e a tradução descrita acima, é possível afirmar (há prova de que) |[n_1]| = |[n_2]| para todo n natural? Ou seja é possível provar que, havendo uma tradução com as propriedades 1 a 4 acima, a quantidade de modelos distintos (não isomórficos) n-categóricos é a mesma em S1 e S2? Bem, é isso! Não custa tentar… Por incrível que pareça, li sobre estas coisas não em um artigo de lógica, mas em um artigo de metafísica! E justamente por isso, os detalhes formais estão MUITO mal escritos lá. O autor não define direito as coisas e escolhe ao acaso o que ele demonstra e o que ele deixa como intuição ou conjectura "filosófica". Segundo ele, a resposta tanto a (i) quanto a (ii) é afirmativa. Mas ele me deu poucas razões para confiar nos seus resultados. É isso, saudações, Daniel. _______________________________________________ Logica-l mailing list [email protected] http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
