A propriedade vale para todas as lógicas de Lukasiewicz. Lema 0: Para todo a,b\in[0,1] temos [a \leq min(b,c)] sse [a \leq b & a\leq c].
Dados m,n\in[0,1], considere a função binária Imp definida em [0,1] por Imp(m,n) := min(1, 1-m+n). Os seguintes resultados auxiliares fazem uso do Lema 0 e da definição de Imp: Lema 1: Para todo a\in[0,1] temos Imp(a,1) = 1. Lema 2: Para todo a,b\in[0,1] temos Imp(a,b) = 1 sse a \leq b. Lema 3: Para todo a,b\in[0,1] temos Imp(a,b) = 1-a+b sse a > b. Lema 4: Para todo a,b,c\in[0,1] temos a \leq Imp(b,c) sse a \leq 1-b+c. Teorema: Para todo x,y,z\in[0,1] temos Imp(x,Imp(y,z)) \leq Imp(y,Imp(x,z)). Demonstração: Seja ta := Imp(x,Imp(y,z)) e tb := Imp(y,Imp(x,z)). Queremos mostrar que ta \leq tb. Caso 1: x \leq Imp(y,z), donde, pelo Lema 2, ta = 1. Da hipótese, pelo Lema 4, temos x \leq 1-y+z. Segue que y \leq 1-x+z, donde, pelo Lema 4, y \leq Imp(x,z). Pelo Lema 2, tb = 1. Caso 2: y \leq Imp(x,z), donde, pelo Lema 2, tb = 1. Trivial (tendo em vista o contradomínio de Imp). Caso 3: x > Imp(y,z) & y > Imp(x,z). - Caso 3.1: x \leq z. Pelo Lema 2, segue que Imp(x,z) = 1, donde, pelo Lema 1, temos tb = 1. Trivial. - Caso 3.2: x > z & y \leq z. Dado que y \leq z, por hipótese, e x\in[0,1], temos y \leq (1-x) + z. Mas da hipótese x > z concluímos que Imp(x,z) = 1-x+z, pelo Lema 3. Daí, y \leq Imp(x,z), e pelo Lema 2 temos tb = 1. Trivial. - Caso 3.3: x > z & y > z. Destarte, pelo Lema 3, usando a primeira hipótese do Caso 3, concluímos que ta = 1 - x+Imp(y,z). Como y > z, temos ta = 1-x + 1-y+z. Ainda, pelo Lema 3, usando a segunda hipótese do Caso 3, concluímos que tb = 1 - y+Imp(x,z). Como x > z, temos tb = 1-y + 1-x+z. É óbvio que neste caso ta = tb. QED On Sat, Jul 18, 2020 at 5:26 PM Regivan Hugo Nunes Santiago <[email protected]> wrote: > > Caríssimos, > > Alguém conhece alguma referencia que tenha a demonstração da propriedade de > Exchange: I(x,I(y,z))=I(y,I(x,z)) para a implicação I(x,y)=min(1,1-x+y)? > > Regivan > > > ******************************************************** > Prof. Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago > Group for Logic, Language, Information, Theory and Applications - LoLITA > Department of Informatics and Applied Mathematics - DIMAp > Federal University of Rio Grande do Norte - UFRN > Avenida Senador Salgado Filho, 3000, > Campus Universitario, Lagoa Nova, 59.078-970, Natal, RN, Brasil > Caixa Postal: 1679Phone: +55 84 3215-3814 Ext. 211 > Fax: +55 84 3215-3813 > http://www.dimap.ufrn.br/~regivan (Outdated) > e-mail: regivan AT DOMAIN=dimap,ufrn,br. > ******************************************************** > > -- > Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos > Grupos do Google. > Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um > e-mail para [email protected]. > Para ver esta discussão na web, acesse > https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/7C94BEAD-276E-431A-A3F2-8F28AA421759%40dimap.ufrn.br. -- http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para [email protected]. Para ver esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_Ljje8fyJnAs-L0OytiSaGxvcKgOq6L%2BzxZPSCUTobeh6w%40mail.gmail.com.
