> Gostaria de recomendar os vídeos que o Alfredo Freire está postando sobre > como comparar infinitos. > > Acho que estão muito bem feitos, exatos e profundos: > > https://www.youtube.com/watch?v=nrG4XQqjAS4&list=PLqv5niGUIgiPLLUDxnH1gwfHxI_oarhzV
Belo trabalho do Alfredo! %%% DIGRESSÃO: (1) Uma coisa que me parece ajudar muitos alunos de Matemática Discreta, na hora de _construir intuição_ sobre *ordem*, é ler "a>b" como "a excede b" (ao invés de "a é maior do que b"). Poucos costumam ter qualquer dificuldade com a relação de ordem estrita, digamos, sobre os números reais: dizemos que a excede b quando há algum c tal que a = b+c, ou mais simplesmente quando a-b>0. (2) Contudo, a relação *complementar*, a ordem parcial ≤, tem este mau hábito de ir contra as intuições que as pessoas trazem da escola. Seguindo a sugestão de leitura acima, contudo, "a≤b" deveria evidentemente ser lido como "a NÃO excede b" (ao invés de "a é menor ou igual a b", e alternativamente ao menos natural "a NÃO é maior que b"). (3) Paradoxo de Galileu: Ao construir a bijeção usual, "2n", que tem como domínio o conjunto dos naturais (ℕ1, no vídeo) e como codomínio o conjunto dos naturais-pares (ℕ2, no vídeo), muitas pessoas que acabaram de sair da escola podem querer concluir, usando (1), que Card(ℕ2)>Card(ℕ1), isto é, que a cardinalidade do conjunto ℕ2 excede a cardinalidade do conjunto ℕ1. (4) Indo agora para o banco da universidade, o caminho mais seguro para entender o efeito da bijeção "2n", em (3), é concluir, usando (2), que Card(ℕ1)≤Card(ℕ2), isto é, que a cardinalidade do conjunto ℕ1 *não* excede a cardinalidade do conjunto ℕ2. (5) Por fim, se "a não excede b" (bijeção "2n") e "b não excede a" (bijeção "n", dada pela função-inclusão), podemos concluir que "a é igual a b". (OBS1) Introduzir a relação de ordem parcial como algo NEGATIVO, como no item (2), parece ir exatamente _ao encontro_ dos comentários do Alfredo, no segundo vídeo, sobre "a conclusão ser negativa", no caso da bijeção "2n". A leitura positiva de "≤" como "menor ou igual", parece ser bem menos útil no processo de aprendizagem sobre *como se comparam* cardinais. (6) Muitas (?) pessoas que acabaram de sair da escola acham natural comparar o "tamanho" de duas coisas encontrando primeiro uma forma de _medir_ o tamanho de cada uma destas coisas, e depois comparando as medidas encontradas. Esta intuição funciona no caso finito, mas não é boa. No caso infinito ela nem funciona nem é boa. (7) A notação "Card(A)≤Card(B)", usada acima, é uma mera abreviatura para "existe uma bijeção de A para B". Para construir (ou verificar) esta bijeção ninguém precisa saber o significado de Card(.), isto é, ninguém precisa "saber contar". (OBS2) Ensinar a comparar tamanhos de conjuntos introduzindo _primeiro_ a noção de "tamanho de conjunto", como aponta o Alfredo no primeiro vídeo (para efeito de surpresa), parece de fato ser bem pouco útil no processo de aprendizagem sobre a *comparação* de cardinais. (Conclusão 1) A "leitura negativa" da relação de ordem parcial entre cardinais parece ser mais útil do que a "leitura positiva". Dá um certo trabalho, talvez, se livrar do hábito de usar esta última leitura, mas para efeitos de aprendizagem realmente parece valer a pena. (Conclusão 2) A comparação entre os "tamanhos dos conjuntos" não requer "saber contar", mas apenas saber construir certos tipos de correspondências entre estes conjuntos. (OBS3) _Na prática_, de fato, usar Schröder-Bernstein, a partir da intuição subjacente ao item (5), e construir *injeções* entre dois conjuntos dados acaba sendo bem _mais útil_ (e quase sempre bem mais simples) do que construir correspondências biunívocas, ou "mapeamento um-para-um", entre um destes conjuntos e parte do outro conjunto. %%% Tendo em vista os últimos comentários acima, estou seguro de que o teorema de Schröder-Bernstein será o tema de um dos próximos vídeos do canal "Ad infinitum" (_antes_ da anunciada escalada para "grandezas superiores"). Força, Alfredo!! Joao Marcos -- http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para [email protected]. Para ver esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_Lg2qh9w6FtnZHMKQdKectFFsGeGkinUGrOU3N8Q5V%3D3DQ%40mail.gmail.com.
