voil� les fichiers Salut,
Mon probleme est le suivant :
J'essaie de transformer en fichier .tex � un fichier .lyx , �a
marche pas du tout, m�me si je fais la conversion de un lyx � latex et
apr�s j'essaie le processus inverse, quoi faire ? , au moins dites moi
o� est que c'est trouve le FM
Mon version de lyx c'est la 1.2.1 d'ao�t 2002,
yo intento transformar un archivo .tex en uno .lyx , eso no
funciona, incluso si yo hago la tonta conversion de lyx a latex y
despues a la inversa, Que puedo hacer ? , al menos diganme donde esta el
puto manual a leer para solucionar el problema.
sur mon terminal apara�t �a :
[jim@georgina Projet_math]$ reLyX theorie_Morse_tanya.tex
reLyX directory is: /usr/share/lyx/reLyX
reLyX, the LaTeX to LyX translator. Revision date 2001/08/31
Reading LaTeX command syntax
(theorie_Morse_tanya.tex: Splitting Preamble
Creating LyX preamble
Reading layout file
Cleaning... Expecting `\end{enumerate}', got \end{defn} in `
\hfill{}
' at /usr/share/lyx/reLyX/Text/TeX.pm line 402, <TeXOpenFile0002> line 38.
Expecting `$', got \end in `
\begin{itemize}
\item L est une droite orient�e passant par l'origine. (L d�finit donc une
direction),
\item $\varepsilon _{L}$ repr�sente la valeur moyenne sur toutes les
directions
L,
\item $\mu _{L}\left(\pi _{L}\circ f\right)$ est le nombre de points
critiques
de la fonction $\pi _{L}\circ f$ .
\end{itemize}
' at /usr/share/lyx/reLyX/Text/TeX.pm line 397, <TeXOpenFile0002> line 115.
Can't locate object method "environment" via package
"Text::TeX::Begin::Group" at /usr/share/lyx/reLyX/Text/TeX.pm line 400, <Te
Compilation failed in require at /usr/bin/reLyX line 76.
Exited due to fatal Error!
--
"dale donde mas les duele, atrevete a crecer"
(Ernesto che Guevara)
prueba.tex
Description: TeX document
%% LyX 1.2 created this file. For more info, see http://www.lyx.org/. %% Do not edit unless you really know what you are doing. \documentclass[12pt,oneside,frenchb]{amsart} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{a4wide} \usepackage{geometry} \geometry{verbose,paperwidth=21cm,paperheight=29.7cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{amssymb} \makeatletter
#LyX 1.2 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 220 \textclass amsart \language frenchb \inputencoding auto \fontscheme default \graphics default \paperfontsize 12 \spacing single \papersize Custom \paperpackage widemarginsa4 \use_geometry 1 \use_amsmath 0 \use_natbib 0 \use_numerical_citations 0 \paperorientation portrait \paperwidth 21cm \paperheight 29.7cm \secnumdepth 3 \tocdepth 3 \paragraph_separation indent \defskip medskip \quotes_language english \quotes_times 2 \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \layout Title th�orie de morse \layout Author tanya lee - jim varas \layout Abstract Ce travail est bas� sur le livre de John Milnor sur la th�orie de Morse. Nous �tudions la nature des points critiques d'une fonction sur une vari�t� et nous obtenions des r�sultats sur la nature topologique de la vari�t� elle-m�me. D'abord, nous donnerons quelques notions basiques n�cessaires � la compr�hensio n de la th�orie, mais le lecteur doit savoir qu'elles ne sont pas suffisantes, il faut r�viser la litt�rature existante, puis nous d�montrerons les principaux r�sultats de la th�orie de Morse, et enfin nous allons appliquer ces r�sultats pour d�montrer l'in�galit� qui existe entre la courbure d'une surface et la somme des nombres de Betti, mais notre int�r�t principal sera la classificat ion des surfaces. \layout Section les notions basiques \layout Subsection Vari�t� \layout Definition Un sous-ensemble M de \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset est une sous-vari�t� si pour tout points \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset de M, il existe un voisinage U de \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset dans \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset et un diff�omorphisme \begin_inset Formula $\varphi $ \end_inset , d�fini sur U, d'image un voisinage V de 0 dans \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset , tel que \begin_inset Formula \[ \varphi \left(U\cap M\right)=V\cap \left(\mathbb{R}^{p}\times \left\{ 0\right\} \right)\] \end_inset \layout Definition L'entier p est appel� dimension de M en \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset . En r�sum�, une vari�t� est localement diff�omorphe � \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{p}$ \end_inset dans \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset . \layout Remark (1) Le diff�omorphisme \begin_inset Formula $\varphi $ \end_inset s'appelle une \begin_inset Quotes eld \end_inset carte locale \begin_inset Quotes erd \end_inset de M en \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset . \layout Remark (2) L'ensemble de points o� M est de dimension p est ouvert, alors si M est en plus connexe, sa dimension est la m�me en chaque point, et se note dim \begin_inset Formula $\left(M\right)$ \end_inset . \layout Standard \hfill \layout Definition L'ensemble des points x tel que pour tout voisinage U de x, \begin_inset Formula $U\cap M$ \end_inset soit diff�omorphe � \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{d-1}\times \mathbb{R}_{+}$ \end_inset est le bord de M et est not� \begin_inset Formula $\partial M$ \end_inset . \layout Standard \hfill \layout Definition Soient X et Y deux sous-vari�t�s respectivement de \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset et de \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{k}$ \end_inset . \layout Definition \begin_inset Formula $f:X\rightarrow Y$ \end_inset est un diff�omorphisme de classe \begin_inset Formula $C^{p}$ \end_inset ssi il existe \begin_inset Formula $\phi :\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{k}$ \end_inset de classe \begin_inset Formula $C^{p}$ \end_inset tel que la restriction de \begin_inset Formula $\phi $ \end_inset � X soit f et si f est un hom�omorphisme de X dans Y. \layout Standard \hfill \layout Subsection Espaces tangents \layout Standard On suppose dor�navant que \begin_inset Formula $M^{p}$ \end_inset est une vari�t� de dimension p. \layout Definition Soit \begin_inset Formula $M^{p}$ \end_inset une sous-vari�t� de \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset , et \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset un point de \begin_inset Formula $M^{p}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\varphi $ \end_inset une carte en \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset . L'espace tangent (vectoriel) � \begin_inset Formula $M$ \end_inset en \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset est l'espace vectoriel \begin_inset Formula $d\varphi ^{-1}\left(0\right)\left(\mathbb{R}^{p}\times \left\{ 0\right\} \right)$ \end_inset , not� \begin_inset Formula $T_{x_{0}}M$ \end_inset . L'espace affine tangent � M en \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset est l'unique espace affine passant par \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset et dirig� par \begin_inset Formula $T_{x_{0}}M$ \end_inset . On le note \begin_inset Formula $\tilde{T}_{x_{0}}M$ \end_inset . \layout Standard \hfill \layout Definition Soient \begin_inset Formula $M$ \end_inset et \begin_inset Formula $N$ \end_inset deux sous-vari�t�s respectivement de \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset et \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{p}$ \end_inset , soit U un ouvert contenant \begin_inset Formula $M$ \end_inset et \begin_inset Formula $f:U\rightarrow \mathbb{R}^{p}$ \end_inset telle que \begin_inset Formula $f\left(M\right)\subset N$ \end_inset , alors \begin_inset Formula $d_{a}f:U\rightarrow \mathbb{R}^{p}$ \end_inset induit une application de \begin_inset Formula $T_{a}M\rightarrow T_{f\left(a\right)}N$ \end_inset appel�e application tangente. \layout Subsection Orientation d'une vari�t� \layout Standard Orienter une vari�t�, c'est orienter contin�ment chaque espace \begin_inset Formula $T_{x}M$ \end_inset . \layout Definition On peut orienter une vari�t� si on peut trouver un ensemble de cartes compatible s entre elles. C'est � dire que sur l'intersection de deux ouverts de cartes, l'application de changement de carte \begin_inset Formula $\phi _{i}^{-1}\circ \phi _{j}$ \end_inset a un jacobien positif ( \begin_inset Formula $\phi _{i}$ \end_inset est une carte locale ). \layout Remark Demander un jacobien positif revient � demander qu'on ne change pas l'orientatio n du plan tangent. \layout Remark \hfill \layout Subsection Courbure totale d'une sous-vari�t� de dim p dans \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset . \layout Definition Soit \begin_inset Formula $M$ \end_inset une vari�t� ferm�e d�finie par un plongement f. On d�finit la courbure totale de \begin_inset Formula $M$ \end_inset , not�e comme pr�c�demment \begin_inset Formula $\tau $ \end_inset \begin_inset Formula $\left(M\right)$ \end_inset , le r�el \begin_inset Formula \[ \tau \left(f\right)=\varepsilon _{L}\mu _{L}\left(\pi _{L}\circ f\right)\] \end_inset o� \layout Itemize L est une droite orient�e passant par l'origine. (L d�finit donc une direction), \layout Itemize \begin_inset Formula $\varepsilon _{L}$ \end_inset repr�sente la valeur moyenne sur toutes les directions L, \layout Itemize \begin_inset Formula $\mu _{L}\left(\pi _{L}\circ f\right)$ \end_inset est le nombre de points critiques de la fonction \begin_inset Formula $\pi _{L}\circ f$ \end_inset . \layout Section quelques �l�ments de topologie alg�brique \layout Subsection D�finitions et r�sultats utiles \layout Definition Soit \begin_inset Formula $X$ \end_inset un espace topologique. On d�finit un q-simplexe singulier \begin_inset Formula $\sigma $ \end_inset de \begin_inset Formula $X$ \end_inset comme une application de \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{\infty }$ \end_inset dans \begin_inset Formula $X$ \end_inset telle que ses restrictions � \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset soient continues. \layout Standard \hfill \layout Definition Soit K un anneau. \begin_inset Formula $S_{q}$ \end_inset est le K-module engendr� par tous les q-simplexes, c'est � dire \begin_inset Formula $S_{q}=\left\{ \sum _{\sigma }\mu _{\sigma }\sigma \, \, o�\, \, \sigma \, \, est\, \, un\, \, q-simplexe,\, \, \mu _{\sigma }\in K\right\} $ \end_inset . \layout Definition Un �l�ment de \begin_inset Formula $S_{q}$ \end_inset s'appelle une cha�ne de q-simplexes. \layout Standard \hfill \layout Definition On appelle \begin_inset Formula $\sigma ^{\left(i\right)}$ \end_inset l'application \begin_inset Quotes eld \end_inset \begin_inset Formula $i^{eme}$ \end_inset face \begin_inset Quotes erd \end_inset de \begin_inset Formula $S_{q}$ \end_inset dans \begin_inset Formula $S_{q-1}$ \end_inset telle que \begin_inset Formula $\sigma ^{\left(i\right)}:\left(P_{0},\ldots ,P_{q}\right)\rightarrow \left(P_{0},\ldots ,P_{i-1},P_{i+1},\ldots ,P_{q}\right)$ \end_inset . \layout Standard \hfill \layout Definition On peut d�sormais d�finir le bord \begin_inset Formula $\partial $ \end_inset d'un q-simplexe comme une \begin_inset Formula $\left(q-1\right)$ \end_inset -cha�ne. \begin_inset Formula $\partial \left(s\right)=\sum _{i=0}^{q}\left(-1\right)^{i}\sigma ^{\left(i\right)}\left(s\right)$ \end_inset o� \begin_inset Formula $s\in S_{q}$ \end_inset . On pose \begin_inset Formula $\partial \left(P_{0}\right)=0$ \end_inset . \layout Standard \hfill \layout Theorem \begin_inset Formula $\partial \circ \partial =0$ \end_inset \layout Standard \hfill \layout Definition On peut d�finir alors \begin_inset Formula \[ Z_{q}\left(X,K\right)=ker\left(\partial :S_{q}\rightarrow S_{q-1}\right)\] \end_inset \begin_inset Formula \[ B_{q}\left(X,K\right)=Im\left(\partial :S_{q+1}\rightarrow S_{q}\right)\] \end_inset \layout Definition On pose \begin_inset Formula $B_{0}\left(X,K\right)=0$ \end_inset . \layout Standard \hfill \layout Definition On appelle \begin_inset Formula $q^{eme}$ \end_inset K-module d'homologie singuli�re not� \begin_inset Formula $H_{q}\left(X,K\right)$ \end_inset le quotient \begin_inset Formula $Z_{q}\left(X,K\right)/B_{q}\left(X,K\right)$ \end_inset . \layout Standard \hfill \layout Definition Deux applications f et g de \begin_inset Formula $\Omega \rightarrow U$ \end_inset sont homotopes s'il existe une application continue F de \begin_inset Formula $\Omega \times \left[0,1\right]\rightarrow U$ \end_inset telle que \begin_inset Formula $F\left(w,0\right)=f\left(w\right)$ \end_inset et \begin_inset Formula $F\left(w,1\right)=g\left(w\right)$ \end_inset . L'application F est appel�e homotopie. \layout Subsection Nombres de Betti et caract�ristique d'Euler \layout Definition Le \begin_inset Formula $q^{eme}$ \end_inset nombre de Betti est le nombre minimal de g�n�rateurs du K-module \begin_inset Formula $H_{q}\left(X,K\right)$ \end_inset et est couramment not� \begin_inset Formula $\beta _{q}$ \end_inset . \layout Standard \hfill \layout Definition La caract�ristique d'Euler est d�finie par \begin_inset Formula $\chi \left(X\right)=\sum _{q}\left(-1\right)^{q}\beta _{q}\left(X,K\right)$ \end_inset . \layout Section th�orie de morse \layout Subsection Un premier exemple \layout Standard \begin_inset Float figure wide true collapsed false \layout Caption Le tore et ses points critiques \layout Standard \begin_inset Graphics FormatVersion 1 filename /home/jim/Documents/Projet_math/index_gr_19.gif display default size_type 2 scale 70 rotateOrigin leftBaseline lyxsize_type 0 \end_inset \end_inset \layout Standard Nous allons prendre cette surface sp�cifique, ainsi comme une fonction particuli er sur la surface, comme un petit mod�le de ce que l'on va faire apr�s sous un contexte beaucoup plus g�n�ral. \layout Standard Soit \begin_inset Formula $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ \end_inset , qui d�note la fonction hauteur par rapport au plan tangent qui passe d'un cot� du tore, et soit \begin_inset Formula $M^{a}=\left\{ x\in M/f\left(x\right)\leqslant a\right\} $ \end_inset . La fonction hauteur a quatre points critiques: \begin_inset Formula $\left\{ p,q,r,s\right\} $ \end_inset . \layout Standard Dans ce cadre on peut voir les choses suivants: \layout Enumerate Si \begin_inset Formula $a<0=f\left(p\right)$ \end_inset , alors \begin_inset Formula $M^{a}$ \end_inset est vide. \layout Enumerate Si \begin_inset Formula $f\left(p\right)<a<f\left(q\right)$ \end_inset , alors \begin_inset Formula $M^{a}$ \end_inset est hom�omorphique � une 2-cell. \layout Enumerate Si \begin_inset Formula $f\left(q\right)<a<f\left(r\right)$ \end_inset , alors \begin_inset Formula $M^{a}$ \end_inset est hom�omorphique � un cylindre. \layout Enumerate Si \begin_inset Formula $f\left(r\right)<a<f\left(s\right)$ \end_inset , alors \begin_inset Formula $M^{a}$ \end_inset est hom�omorphique � une vari�t� compact. \layout Enumerate Si \begin_inset Formula $f\left(s\right)<a$ \end_inset , alors \begin_inset Formula $M^{a}$ \end_inset est tout le tore. \layout Standard En termes des types d'homotopie, le passage de (1) � (2) se traduit par une op�ration de collage d'une 0-cell, (on peut imaginer une 0-cell comme un point), de (2) � (3) par une 1-cell (on peut imaginer une 1-cell comme un chemin), (3) � (4) par une 1-cell et (4) � (5) par une 2-cell, (on peut imaginer une 2-cell comme un parabolo�de). Cela est joli, parce que l'on sait que la caract�risation de p,q,r,s en termes de f est tr�s simple. Si l'on choisit un syst�me de cordonn�es \begin_inset Formula $\left(x,y\right)$ \end_inset au voisinage de ces points, on a que \begin_inset Formula $\frac{\partial f}{\partial x}$ \end_inset et \begin_inset Formula $\frac{\partial f}{\partial y}$ \end_inset ont la valeur z�ro. En p, nous pouvons choisir \begin_inset Formula $\left(x,y\right)$ \end_inset tel que \begin_inset Formula $f=x^{2}+y^{2}$ \end_inset , en s un autre tel que \begin_inset Formula $f=c-x^{2}-y^{2}$ \end_inset , enfin, en q et r un autre tel que \begin_inset Formula $f=c+x^{2}-y^{2}$ \end_inset . Notez que le nombre de signes moins a un fort rapport avec la dimension de la k-cell qu'il a fallu coller, ils sont �gal�s. On va g�n�ralis� tous ces faits. \layout Standard \begin_inset Float figure wide true collapsed false \layout Caption Les diff�rents types d'homotopie \layout Standard \begin_inset Graphics FormatVersion 1 filename /home/jim/Documents/Projet_math/index_gr_58.gif display default size_type 2 scale 70 rotateOrigin leftBaseline lyxsize_type 0 \end_inset \end_inset \layout Subsection Points critiques \layout Definition Un point x de M est un point critique de f si le rang de f est nul en x (i.e. \begin_inset Formula $d_{x}f=0$ \end_inset ). \layout Standard \hfill \layout Definition nullit� \layout Standard \hfill \layout Definition index \layout Subsection Lemme de Morse \layout Lemma (de Morse) Soit f une application de classe \begin_inset Formula $C^{k}$ \end_inset , de M dans \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset . \layout Lemma Soit \begin_inset Formula $x\in M\setminus \partial M$ \end_inset un point critique non d�g�n�r� d'indice p de f, alors il existe un syst�me de coordonn�es locales \begin_inset Formula $\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)$ \end_inset sur un ouvert U tel que \layout Itemize \begin_inset Formula $y_{i}\left(x\right)=0\, \, \, \bigvee i\in \left\{ 1,\ldots ,n\right\} $ \end_inset . \layout Itemize \begin_inset Formula $f_{/U}=f\left(x\right)-y_{1}^{2}-\cdots -y_{p}^{2}+y_{p+1}^{2}+\cdots +y_{n}^{2}$ \end_inset . \layout Corollary Les points critiques sont isol�s. \layout Subsection Fonctions de Morse \layout Subsection In�galit�s de Morse \layout Subsection Application de la th�orie de Morse � la classification de surfaces \layout Bibliography \bibitem [Milnor]{key-1} Th�orie de Morse, John Milnor. \layout Bibliography \bibitem [Levecque]{key-2} Th�orie de Morse, Fanny Levecque. \the_end
