Changes http://wiki.axiom-developer.org/AxiomInTheClassroom/diff
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++added:
+
+- On Sunday, March 05, 2006 8:12 AM Francois Maltey wrote:
+
+
+ So I try to translate into axiom the work that my
+ students make with mupad or maple.
+
+ So I compare what maple, mupad and axiom can do.
+
+ The questions and my solution with axiom are bellow.
+
+ My students must be do the exercice *with pencil and paper*,
+ and with a computer algebra system.
+
+ The main differences are:
+
+ 1 with mupad I can define an operator **%** (with any
+ priority), so I type x **%** y and not etoile (x, y),
+ it's nicer to read
+
+ 2 mupad and maple have expression as tree, we must rewrite
+ etoile (x, etoile (x, y)) when we want to test the
+ associative law, with expand or normal. axiom do this
+ without any rewrite because the result is Polynomial.
+
+ 3 There is no problem for commutative :
+ mupad and maple rewrite sum in a internal order
+ $x*y=y*x$, $x+y=y+x$
+
+ 4 axiom solve is nice to use : we get a list
+ ![ident = value] the maple solve is less nice to use,
+ sometime there is the name of the variable, sometimes
+ not the result is a empty sequence, so there is nothing
+ to read when the set is empty the mupad solver is
+ finest::
+
+ solve (x*y=0,x) gives
+ (y=0 => x \in C) AND (y<>0 => x=0)
+
+ a little problem with axiom::
+
+ solve (x*y=0, [x,y]) doesn't work,
+ I must type solve ([x*y=0],[x,y])
+
+ 5 With axiom I can't compute $x^(n)$ for the indeterminate
+ $n$. With other CAS I can transform::
+
+ (1+x)^n*(1+x) + x + 1 into (1+x)^n*(1+x)
+
+ It seems that solve (rec ...)) doesn't exist in axiom.
+
+ - Either with a solve::
+
+ (rec (u(n+1)=u(n)*(1+x)+x+1, u(0)=1, u(n)))
+
+ - or factor ((1+x)^n*(1+x) + x + 1) computes
+ (1+x)^n*(1+x)
+
+ 6 Axiom is very adaptive for Polynomial:
+
+ I can use Polynomial Integer, Fraction Polynomial Integer,
+ Polynomial Integer, Factored Polynomial Integer, etc.
+
+ Other CAS have functions as collect,
+ With axiom, I also can do this with coerce::
+
+ (x+y+1)^2 ::DMP([x,y],Integer), (x+y+1)^2 ::DMP([y,x],Integer)
+
+ Is it an axiom bug in axiom? I don't understand why::
+
+ (x+y+1)^2 ::DMP([x],Integer)
+
+ gives me an Expression Integer, not an error.
+
+ But when I use Expression I only have ONE type:
+ Expression Integer. On this example the $(1+x)^n$ term force
+ me to use Expression Integer.
+
+ So I lose (almost) all the power of axiom.
+
+- Francois Maltey wrote:
+
+ First are the questions. My solution with axiom comes after,
+ is there mistakes ?
+
+étude d'une loi de composition interne
+
+ Dans l'énoncé $E$ un ensemble muni d'une loi de composition
+interne~$\star$, et $\lambda$, $\mu$, $a$, $b$, $c$ et $d$ sont
+des nombres réels. L'élément $u \in E$ est absorbant pour la
+loi $\star$ si et seulement si $u$ vérifie cette proposition:
+
+$$\forall x \in E \qquad u \star x = x \star u = u $$
+
+Dans cette partie $x \in \mathbb R$, $(n, p) \in \mathbb Z^2$
+et la loi $\star$ est définie sur $\mathbb R$ ainsi:
+
+$$ \forall (x, y) \in \mathbb R^2 \qquad x \star y = x + y - xy $$
+
+Justifier que toute structure $(E, \star)$ possède au maximum
+un élément absorbant.
+
+Montrer par la contraposée que tout groupe ayant au moins
+deux éléments ne possède aucun élément absorbant.
+
+Étudier les éléments absorbants de $\mathbb R$ pour la loi
+$\star$ ; en déduire que $(\mathbb R, \star)$ n'est pas un
+groupe.
+
+Prouver que
+$(\mathbb R \setminus \{1\}, \star)$
+est un groupe commutatif ; calculer l'élément neutre de
+$\star$ sur $\mathbb R \setminus \{1\}$ et le symétrique
+d'un élément de $\star$ sur $\mathbb R \setminus \{1\}$.
+
+Les puissances itérées $x^{(n)}$ pour la loi $\star$ sont
+définies ainsi :
+
+\begin{equation*}
+x^{(n)} =
+\begin{cases}
+\underbrace{x \star x \star x \star \cdots \star x}_{n \text{ fois}} & \text
{pour $n > 0$} \\
+0 & \text {pour $n=0$} \\
+(x^{(-1)})^{(-n)}=(x^{(-n)})^{(-1)} & \text{pour $n < 0$}
+\end{cases}
+\end{equation*}
+
+Les puissances itérées $x^{(n)}$ pour la loi $\star$ sont
+définies ainsi:
+
+\begin{equation*}
+x^{(n)} =
+\begin{cases}
+\underbrace{x \star x \star x \star \cdots \star x}_{n \text{ fois}} & \text
{pour $n > 0$} \\
+0 & \text {pour $n=0$} \\
+(x^{(-1)})^{(-n)}=(x^{(-n)})^{(-1)} & \text{pour $n < 0$}
+\end{cases}
+\end{equation*}
+
+Elles vérifient
+$x^{(n)}\star x^{(p)} = x^{(n+p)}$ et $(x^{(n)})^{(p)} = x^{(np)}$.
+
+Dans le cas où $n > 0$ calculer par récurrence $x^{(n)}$
+à l'aide des opérations classiques d'additions, de
+multiplications, et de puissances sur $\mathbb R$.
+
+Déterminer une formule similaire pour $x^{(n)}$ lorsque $n<0$.
+
+Les puissances itérées $x^{(n)}$ pour la loi $\star$ sont
+définies ainsi :
+
+\begin{equation*}
+x^{(n)} =
+\begin{cases}
+\underbrace{x \star x \star x \star \cdots \star x}_{n \text{ fois}}
+ & \text {pour $n > 0$} \\
+0 & \text {pour $n=0$} \\
+(x^{(-1)})^{(-n)}=(x^{(-n)})^{(-1)} & \text{pour $n < 0$}
+\end{cases}
+\end{equation*}
+
+Elles vérifient
+$x^{(n)}\star x^{(p)} = x^{(n+p)}$ et $(x^{(n)})^{(p)} = x^{(np)}$.
+
+Dans le cas où $n > 0$ calculer par récurrence $x^{(n)}$
+à l'aide des opérations classiques d'additions, de
+multiplications, et de puissances sur $\mathbb R$.
+
+Déterminer une formule similaire pour $x^{(n)}$ lorsque $n<0$.
+
+Calculer un couple $(\lambda,\mu)$ pour que l'application~$f$
+soit un isomorphisme du groupe
+$(\mathbb R \setminus \{1\}, \star)$
+dans le groupe $(\mathbb R^*, \times)$ :
+
+$$
+f : \mathbb R \setminus \{1\} \to \mathbb R^* \qquad f(x)=\lambda x + \mu
+$$
+
+
+définitions et réinitialisations
+
+ My solution with axiom
+
+\begin{axiom}
+)clear properties a b x y z etoile eltAbs eltNeutre sym
+etoile := (x,y) +-> x+y-x*y
+\end{axiom}
+
+recherche de l'élément absorbant, et vérification
+\begin{axiom}
+tmpres := solve (etoile(x,a)=a, a)
+eltAbs := rhs (first tmpres)
+etoile (x, eltAbs) = eltAbs
+(etoile (x, eltAbs) = eltAbs)::Boolean
+\end{axiom}
+
+vérification que la loi etoile est de composition interne
+\begin{axiom}
+[65 more lines...]
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