Veja que o problema tem solução. O fato é óbvio para x = n = y. Porém, supondo x =/ n =/ y temos que: vamos resolver com um caso mais simples, ou seja: x^n = n^x vamos supor que x e n pertença ao conjuntos dos número inteiros positivos, já que aos inteiros não tenho capacidade de resolvê-lo. x^n = n^x Observe um lema: Para todo x > n >= 3 , ocorre que x^n<n^x Prova: Verifique que podemos utilizar o logarítmo neperiano, para provar tal caso: n * ln x < x * ln n => n/ln n < x/ln x, já que a função f(x) = x/ln x é crescente apartir de e. Observe que usei o mesmo lema na solução do problema 3, se não estou enganado, das olimpíadas internacional de matemática. lema: Para todo x < n > = 3, ocorre x^n > n^x, para todo x > 0 e x =/1 Prova: Para o mesmo caso, observe que n/ln n > x/ ln x Observe que analisamos x entre os intervalos (3, infinito) e (1, 3) para todo n >= 3 Pelo mesmo lema vamos supor 0 <= n < 3 sendo x>n, então: x^n > n^x Prova: n/ln n > x/ln x Pelo mesmo lema vamos supor 0<= n < 3 sendo x < n, então: x^n < n^x, para todo x=/1 Prova: n/ln n < x/ln x Vamos analisar agora x sendo e sendo 1. 1^n < = n^1 => 1 < = n ou n >=1. para todos e qualquer n, inteiro positivo Prova: De fato o caso é real já que 1 é o menos número dentre os inteiros positivos. Conclusão: Vemos através de provas por logarítmo que é impossível a igualdade desta equação, exceto quando assumem valores indênticos. Observe que provei para os inteiros positivos. Mas, esta equação tem solução quando x e n são racionais.
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Marcos Eike Tinen dos Santos @ ITA @ Wed, 2 Feb 2000 07:01:29 -0800
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