Oi, Elon, Alexandre.
Se eu lembro direito o problema pedia uma solu��o anal�tica, ent�o o
que eles queriam era a solu��o do Alexandre.
Mas h� uma bela solu��o geom�trica... baseada nos seguintes fatos que
podem ser provados de maneira simples (tracem as figuras!):
i) Num tri�ngulo PAB, o p� da bissetriz do �ngulo APB, digamos, M
satisfaz a seguinte propriedade:
MA/MB = PA/PB
ii) Num tri�ngulo PAB, o p� da bissetriz EXTERNA do �ngulo APB,
digamos, N, tamb�m satisfaz
NA/NB = PA/PB (s� que N est� FORA do segmento AB)
(Se quiser parar para pensar no problema, este � um bom momento. Sen�o,
siga com a leitura.)
iii) As bissetrizaes interna e externa do �ngulo APB s�o
perpendiculares.
--//--
Agora, qual � o l.g. dos pontos P tais que PA/PB = k>0? Bom, determine
M e N na reta AB tais que MA/MB = NA/NB = k, M dentro do segmento AB e N
fora do segmento AB. N�o � dif�cil ver que nenhum outro ponto em AB tem
essa propriedade (do tipo XA/XB = k para esse k). Fa�a uma figura de
an�lise, pondo nela um P gen�rico no plano satisfazendo PA/PB = k.
Como n�o h� outros pontos M, N em AB satisfazendo esta propriedade,
conclu�mos que PM e PN sao de fato as bissetrizes interna e externa de
APB, e entao MPN = 90 graus. Mas M e N sao fixos!
Ent�o o lugar geom�trico de P � um arco capaz de 90 graus sobre MN,
isto �, o c�rculo de diametro MN (o mesmo que o Alexandre tinha achado).
Vale observar que o racioc�nio falha se k=1, pois ent�o o ponto N n�o
existe (por assim dizer, N vai para o infinito). Mas neste caso, o lugar
geom�trico dos pontos que satisfazem PA/PB=1 � a mediatriz de AB.
Abra�o,
Ralph
[EMAIL PROTECTED] wrote:
>
> Elon,
> Para o Problema 3, a id�ia � a seguinte:
>
> Figura de An�lise:
> Considere como eixo Ox a reta suporte do segmento AB e como eixo Oy a
> mediatriz deste segmento e chamando-se o comprimento de AB de 2a, temos:
> A(-a,0); B(a,0) e P(x,y), assim:
>
> (AP)^2= (x+a)^2 + y^2 = x^2 + y^2 + 2.x.a + a^2
> (BP)^2= (x-a)^2 + y^2 = x^2 + y^2 - 2.x.a + a^2
>
> do enunciado: AP/BP = k, => (AP)^2 = k^2.(BP)^2
> => x^2 + y^2 + 2.x.a + a^2 = k^2.(x^2 + y^2 - 2.x.a + a^2)
> => (k^2 - 1).x^2 + (k^2 - 1).y^2 -2.a.(k^2 + 1).x + (k^2 - 1).a^2 = 0
> como k>0, h� dois casos a verificar:
> 1) k=1 => -4.a.x=0 => x=0 => LG � o eixo Oy (mediatriz de AB)
>
> 2) k <> 1 (k diferente de 1)
> => k^2 - 1 <> 0
> => x^2 + y^2 -2.a.[(k^2+1)/(k^2-1)].x + a^2 = 0
> => (x-a.[(k^2+1)/(k^2-1)])^2 + y^2 = (4.k^2.a^2)/(k^2 -1)^2
> => LG � uma circunfer�ncia de centro em Ox .
>
> []'s
> Alexandre Vellasquez
