On Wed, 30 Aug 2000, Rogerio Fajardo wrote:
> Ol�, pessoal
>
> Sou aluno do 1� ano de Bacharelado de Matem�tica e comecei a me
> interessar muito por l�gica e fundamentos da matem�tica. Tenho algumas
> d�vidas que gostaria que algu�m me tirasse. A primeira � a seguinte: toda a
> matem�tica � constru�da a partir de axiomas, que n�o s�o provados, e a
> partir deles s�o deduzidas as verdades matem�ticas dentro desse sistema. Mas
> essa rela��o de implica��o � uma verdade matem�tica, e precisa de axiomas
> para o provar. Como se d� isso? Os teoremas da l�gica dispensam provas?
> Outra coisa: a incompletude de G�del, que diz que a aritm�tica n�o pode ser
> deduzida a partir de sistemas de axiomas, s� vale para sistema do tipo
> mec�nico?
>
> grato pela aten��o,
> Rog�rio
Oi Rog�rio, este assunto � profundo e dif�cil de ser tratado com justi�a
em um e-mail mas a� v�o algumas considera��es:
A afirma��o de que "toda a matem�tica � constru�da a partir de axiomas,
que n�o s�o provados, e a partir deles s�o deduzidas as verdades matem�ticas"
n�o � errada mas d� uma id�ia muito incompleta do que seja a matem�tica.
A quase totalidade das �reas da matem�tica s� veio a ser axiomatizada
muito tardiamente: no in�cio existiam intui��es, motiva��es f�sicas,
problemas, id�ias mais ou menos soltas, enfim, quase tudo menos axiomas.
Em alguns casos, como no da geometria euclidiana cl�ssica, existem
conjuntos de axiomas antigos mas que s�o pat�ticamente inadequados
pelos padr�es atuais e muitos questionam-se at� se Euclides estava
sequer *tentando* dar um conjunto de axiomas no sentido moderno do termo
ou se estava apenas anotando alguns fatos que iria usar sem demonstrar.
Por outro lado, a maioria dos matem�ticos n�o conhece nem se interessa por
conhecer uma axiomatiza��o cuidadosa da teoria dos conjuntos: eles usam
o que precisam de teoria dos conjuntos (ou de outras �reas da matem�tica)
mas t�m pouco interesse em discutir sobre que axiomas se ap�ia o pr�prio
trabalho. Quanto � l�gica, a situa��o � similar: a maioria dos matem�ticos
n�o conhece nem tem interesse em conhecer l�gica de primeira ordem
cuidadosamente.
A quest�o de qual o fundamento �ltimo do saber matem�tico e l�gico
� de natureza filos�fica e dentre os matem�ticos e fil�sofos que se
interessam pelo tema as respostas seriam variadas. Mas a meu ver
a l�gica matem�tica pretende discutir o pensamento humano matematicamente,
um pouco como a f�sica discute certos aspectos da natureza tamb�m
matematicamente. Nem a l�gica nem a f�sica tentam dar respostas
quintessenciais; tais respostas, se humanamente poss�veis,
cabem a outras �reas do saber, talvez � filosofia.
Finalmente, quanto ao teorema de G�del.
O teorema que voc� parece ter em mente � o da incompletude.
Os sistemas de axiomas usuais em l�gica de primeira ordem
para a teoria dos conjuntos (ZFC, os de Zermelo-Fraenkel+Escolha)
ou a aritm�tica (PA, Aritm�tica de Peano --- aqui indu��o deve ser formulada
sem usar conjuntos!) s�o ambos demonstravelmente incompletos
(supondo-os livres de contradi��o).
Um exemplo de afirmativa que n�o pode ser nem provada nem refutada em ZFC
� a hip�tese do cont�nuo (para todo subconjunto X infinito n�o enumer�vel
de R existe uma bije��o entre X e R).
Um exemplo de afirmativa sobre naturais verdadeira em ZFC
mas n�o demonstr�vel em PA � uma vers�o do teorema de Ramsey.
Seja X um conjunto finito e defina X^[n] como sendo o conjunto de todos
os subconjuntos de X com precisamente n elementos.
Seja f: X^[n] -> Y uma fun��o; dizemos que um subconjunto Z de X
� f-homog�neo se a restri��o de f a Z^[n] for constante.
Teorema de Ramsey finito:
Dados naturais n, m e l ent�o existe N tal que se |X| >= N e |Y| = m
ent�o toda fun��o f: X^[n] -> Y admite um subconjunto homog�neo Z
com l elementos.
Se X = {0,1,2,...,N-1}, dizemos que Z � relativamente grande
se |Z| >= min(Z).
Teorema de Ramsey finito forte:
Dados naturais n, m e l ent�o existe N tal que se X = {0,1,2,...,N-1}
e |Y| = m ent�o toda fun��o f: X^[n] -> Y admite um subconjunto homog�neo Z
relativamente grande com pelo menos l elementos.
O teorema de Ramsey forte acima n�o pode ser demonstrado na aritm�tica
de Peano apesar de ser facilmente demonstr�vel fazendo uso de conjuntos
infinitos.
Mas voltando: ser� que estes fatos indicam defici�ncias nestes sistemas
de axiomas? G�del demonstrou que n�o: todo sistema de axiomas em l�gica
de primeira ordem onde voc� saiba reconhecer um axioma (ser� que foi isso
que voc� tinha em mente com "mec�nico"?) e que seja forte o suficiente
para falarmos de n�meros naturais � incompleto (desde que n�o seja
inconsistente).
Um outro exemplo de afirma��o verdadeira (em ZFC) mas n�o demonstr�vel
em PA � a consist�ncia de PA. O que n�o � t�o �bvio � como sequer
formular a consist�ncia de PA dentro de PA: afinal, PA fala de naturais
e n�o de axiomas e teoremas! Para isso � preciso 'emular' a l�gica
dentro da aritm�tica, um processo um pouco trabalhoso.
A raz�o hist�rica para G�del ter considerado a possibilidade de provar
a consist�ncia de PA dentro de PA � que o programa de Hilbert pretendia
eliminar as restri��es que certos matem�ticos faziam � teoria dos conjuntos
provando a consist�ncia de ZFC dentro de PA: pelo teorema de G�del,
� imposs�vel dar tal demosntra��o.
[]s, N.
