Ola Pessoal, O problema abaixo, com uma pequena modificacao que eu fiz, apareceu como um desafio em uma lista de fisica. Valia um Livro e a inclusao do nome em uma "Galeria de Campeoes". Apenas dois estudantes apresentaram solucoes. PROBLEMA : De uma altura "H" - em relacao ao solo - larga-se uma esfera pontual, homogenea, que choca-se elasticamente com um plano inclinado situado abaixo. 1) A inclinacao do plano em relacao ao solo e "G". 2) A distancia - medida ao longo do plano inclinado - entre o ponto onde ocorre o primeiro choque e o ponto de contado do plano com o solo e "L". Que relacao deve existir entre "H", "G" e "L" para que o ultimo contado entre entre a esfera e o plano seja justamente no ponto de contado do plano com o solo ? A solucao se aproxima A solucao se aproxima A solucao se aproxima CHEGOU ... SOLUCAO : Quando a esfera pontual toca o plano pela primeira vez - ponto que designaremos por "A" - ela ja percorreu uma distancia claramente igual a "H - L*sen(G)". Ela percorre esta distancia em queda livre, partindo do repouso. Assim, sua velocidade em "A" e : (Va)^2 = 0^2 + 2*g*( H - L*sen(G) ) => Va = RAIZ_2( 2*g*( H - L*sen(G) ) ) Ate chegar ao plano a esfera cai verticalmente. EM RELACAO AO PLANO, ela incide com um angulo de "G" graus. Este e tambem o angulo com o qual ela o abandona, pois os choques sao elasticos. Apos abandonar o plano, atuara na esfera exclusivamente a forca peso, vertical. Isto implica uma aceleracao "g". Todavia, se ... Imaginarmos um referencial cuja origem esteja no ponto "A" e cujo eixo das abscissas coincida com o plano inclinado, EM RELACAO A ESTE REFERENCIAL, a esfera pontual possui : 1) uma "aceleracao vertical" - perpendicular ao plano - igual a "g*cos(G)" 2) uma "aceleracao horizontal" - paralela ao plano - de "g*sen(G)" A velocidade e angulo iniciais ja calculamos acima e, portanto, as equacoes de lancamento de projeteis aplicaveis sao : Y(t) = Va*cos(G)*t - (1/2)*(g*cos(G))*(t^2) X(t) = Va*sen(G)*t + (1/2)*(g*sen(G))*(t^2) Nestas equacoes, "t" e o tempo. Claramente que o segundo choque da esfera com o plano ocorrera quando : t > 0 e Y(t) = 0. Resolvendo a equcao, achamos : T = 2*RAIZ_2( ( 2*( H - L*sen(G) ) ) / g ). Isto ocorrera no ponto de abscissa X(T) = 8*sen(G)*( H - L*sen(G) ), que e tambem o alcance da primeira "corcova". EM RELACAO AO REFERENCIAL QUE ADOTAMOS, as forcas atuantes, responsaveis pelas aceleracoes ja descritas, sao perpediculares entre si e, portanto, uma nao interfere na outra. Assim, o valor T = 2*RAIZ_2( ( 2*( H - L*sen(G) ) ) / g ) sera, doravante, o intervalo de tempo, constante, entre dois choques sucessivos. E portanto o periodo do Fenomeno. As abscissas dos pontos onde ocorrem os sucessivos choques serao : X(T) , X( 2*T ), X( 3*T ), X( 4*T ), X( 5*T ), ..., X( N*T ), ... E os alcances ( larguras das sucessivas "corcovas" = diferenca entre duas "abscissas de choque" sucessivas ) respectivos serao : A(1) = X( 2*T ) - X( T ) = 8*sen(G)*( H - L*sen(G) ) A(2) = X( 3*T ) - X( 2*T ) = 16*sen(G)*( H - L*sen(G) ) A(3) = X( 4*T ) - X( 3*T ) = 24*sen(G)*( H - L*sen(G) ) ... A(p) = X( (p+1)*T ) - X( p*T ) = 8*p*sen(G)*( H - L*sen(G) ) ou : A(1) = 8*sen(G)*( H - L*sen(G) ) A(p) = p*A(1) O DesafiO da "Lista de Fisica" consistia em encontrar as duas ultimas equacoes. Valia um livro e ter o nome registrado em uma "Galeria de Campeoes", conforme ja falei. Dois estudantes, de estados distintos, conseguiram a "facanha". A solucao deles, entretanto - bastante grande - foi por um caminho diferente ... Para cumprir a condicao de simetria de nosso problema, devemos impor que a abscissa do N-esimo choque seja L, isto e: X(N*T) = L, ( N um natural positivo qualquer = o numero de saltos ), isto fornece : N^2 + N = L / ( 4*sen(G)*( H - L*sen(G) ) ). Assim, a relacao que buscamos e que L / ( 4*sen(G)*( H - L*sen(G) ) ). seja um natural da forma N^2 + N, onde N e o numero de saltos ( "corcovas" ). Ve-se que a equacao encontrada e consistente, pois nao havera solucao se : 1) Se sen(G) = 0, isto e, G = 0 ou G = pi.. Fisicamente isso significa que o plano estara na horizontal e, portanto, nao pode haver saltos. 2) Se H - L*sen(G) = 0, isto e, sen(G) = H/L. Fisicamente isso significa que estamos soltando a esfera de uma altura igual ao cateto oposto ao angulo G e, portanto, a esfera vai rolar sobre o plano : nao pode pular, consequentemente. 3) Se H - L*sen(G) < 0. Fisicamente, isto significa soltar a esfera de um ponto abaixo do plano. Em geral, uma equacao da Fisica bem formulada costuma conhecer os fenomenos sob investigacao melhor que o Cientista que a formulou. Na nossa equacao, se sen(G)=1, ela admite solucoes. Ora, neste caso, o plano "inclinado" estara "em pe", na vertical ... Como interpretar fisicamente isso ? Bom, continuando. Como A(1) = 4*sen(G)*( H - L*sen(G) ), a relacao que obtemos pode ser colocada como segue : 2*L / A(1) = N^2 + N Nos tomamos o caminho natural de interpretar um fenomeno, formular as equacoes pertinentes e dar uma explicacao fisica para as limitacoes desta equacao. Podemos fazer o caminho inverso ? Vale dizer, podemos derivar algum fato interessante sobre os numeros usando a equacao fisica ? Um abraco Paulo Santa Rita 6,0952,22092000 ________________________________________________ Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/