On Tue, 31 Oct 2000, Jorge Peixoto Morais wrote:
> Deixe eu ver se entendi essa �lgebra do Nicolau (O Grande): *Corpo: um
> conjunto num�rico que satisfaz aqueles postulados dos n�meros reais (i.e: x+y
> � real se x e y s�o reais, x+(y+z)=(x+y)+z, etc) *Anel: um conjunto num�rico
> que satisfaz alguns desses postulados, mas n�o todos. Ps1: Que significa um
> anel ser "fechado" em divis�o? Ps2: Em um livro, encontrei escrito:�
> postulado de corpo que todo n�mero tem um inverso. Mas ent�o um sistema
> completo de res�duos m�dulo k nunca � um corpo ? I.e., se k=10, n�o h� x,y
> inteiros tal que xy= 1 (mod 10)
Ingredientes b�sicos para um anel com unidade:
Um conjunto A, um elemento especial de A chamado 0, outro chamado 1,
duas opera��es di�dicas e uma un�ria:
+ : A x A -> A
* : A x A -> A
- : A -> A
Axiomas de anel com unidade:
( x + y ) + z = x + ( y + z )
0 + x = x + 0 = x
x + (-x) = (-x) + x = 0
x + y = y + x
x * ( y + z ) = ( x * y ) + ( x * z )
( y + z ) * x = ( y * x ) + ( z * x )
( x * y ) * z = x * ( y * z )
1 * x = x * 1 = x
Exemplos de Anel:
O conjunto dos inteiros Z com as opera��es usuais
O conjunto das matrizes reais nxn (n fixo)
Z/(n) = {0, 1, 2, ..., n-1}, com opera��es m�dulo n
N�o s�o an�is:
O conjunto dos naturais (n�o podemos fazer -n)
R^3 com o produto vetorial (n�o � associativo)
Um anel com unidade � comutativo se x*y = y*x.
Um anel comutativo com unidade � um dom�nio se x*y = 0
implicar x = 0 ou y = 0.
Um dom�nio � um corpo se para todo x != 0 existir y com x*y = 1
(onde a != b significa a diferente de b).
Um anel com unidade � chamado corpo n�o comutativo, quase corpo
ou anel de divis�o se para todo x != 0 existir y com x*y = y*x = 1.
Z/(n) � um corpo se e somente se n � primo.
Por exemplo, se n = 5 temos 1*1 = 2*3 = 3*2 = 4*4 = 1.
> Ps3:Quando vi 2^x=2x, me lembrei de uma muito
> mais dif�cil: X^X=3. N�o pensem que � s� tirar log! Tentem fazer isso e ver�o
> do que eu estou falando...
>
