Oi Josimar ,
Fazendo N = nx + my , com mdc(m,n ) dividindo N , teremos para solução :
x = tN - mk e y = nk - sN ; onde s e t são inteiros positivos tais que : nt = ms + 1 . Devemos encontrar
o maior N tal que não seja possível escrever : sN/n < k < tN/m ou seja sN/n = a + b e
tN/m = a + c , com a inteiro positivo , 0< b < 1 , 0< c < 1 e b<c . Observe que 0 < mc < m e
0 < nb < n e a = mcs - nbt ; tomando nb = 1 e mc = m - 1 encontramos a = sm - s - t e,
consequentemente teremos sN = na + nb = nsm - ns - nt + 1 = nsm - ns - ms ; ou seja
N = nm - n - m = m( n - 1 ) - n , que é o valor encontrado . Vejamos agora o fato deste N ser o
máximo : observe que tN = ma + mc = m [ mc( s +1/m) - nbt ] ou seja tn será máximo quando
tivermos mc = m - 1 e nb = 1 , já que temos dentro dos colchetes uma diferença e os valores de s e
t estão amarrados em nt = ms + 1 .
Está correta esta conclusão ?
Abraços , Carlos Victor
At 18:15 21/1/2001 -0200, josimat wrote:
Mais uma vez, obrigado Carlos Vitor!
Meu amigo Luís Lopes, também membro desta lista, chegou à seguinte conjectura:
Z = (n 1) m n, onde "n" e "m" são os valores monetários das moedas. O que dá Z = 59.
Alguém se emociona com isso o suficiente a ponto de fazer algum comentário?
[]s Josimar
-----Mensagem original-----
De: Carlos Victor <[EMAIL PROTECTED]>
Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>; OBM <[EMAIL PROTECTED]>
Data: Domingo, 21 de Janeiro de 2001 01:50
Assunto: Re: um bom problema
Oi Josimar ,
Verifique se a idéia abaixo está correta .
Seja N = 11x + 7y ; como 7 e 11 são primos entre si , encontramos para solução geral :
x = 2N - 7k e y = 11k - 3N . Devemos encontrar o maior N tal que não seja possível escrever
3N/11< k < 2N/7 e , isto ocorrerá quando tivermos as partes inteiras de 3N/11 e 2N/7 iguais e,
evidentemente não devemos ter 3N/11 e 2N/7 sendo inteiros ; pois teremos x= 0 ou y =0 ; portanto :
3N/11 = a +b e 2N/7 = a + c , com a inteiro positivo , 0< b < 1 , 0< c < 1 e b<c . Observe que
3N = 11a + 11b ; 2N = 7a + 7c ; a = 21c - 22b ; 7c = 1,2,3,4,5,ou 6 . Já que a> 0 , teremos
22b < 21c ou seja 11b = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6, 7 , 8 ou 9. Podemos verificar também que N < 77 ,
e que a < 16 . Para a =16 e 11b = 1 encontramos N = 59 , que é o valor máximo para N .
Confere as contas , ok ?
Abraços , Carlos Victor
At 12:10 20/1/2001 -0200, josimat wrote:
Olá amigos da lista, gostaria de saber se alguém tentou resolver o problema da minha mensagem "paralelogramo". Gostaria também de ver aqui resoluções do seguinte problema.[]'s JOSIMAR
- Um governante louco decide apenas emitir duas moedas de valores diferentes: uma de 7 unidades monetárias e outra de 11. Assim, somas como 15 unidades não podem ser obtidas de maneira exata. Qual é a maior quantia que não pode ser paga com qualquer combinação das duas moedas?