Como alguns devem saber, Euclides foi o primeiro a formalizar a geometria e, para tanto, usou alguns axiomas (ou postulados) para provar cada teorema. (Axioma é algo que não pode ser provado e que o bom senso diz ser verdadeiro. Um exemplo de axioma seria o de que "por dois pontos distintos passa uma e somente uma reta") Várias geometrias foram construídas ao longo dos tempos, excluindo um ou outro axioma. Em geral, devido a sua não-obviedade, o primeiro axioma a ser excluído era o das paralelas (dados uma reta r e uma ponto P não pertencente a r, existe um e somente uma reta paralela a r que passa por P). Assim surgiram as geometrias não-euclidianas, com várias aplicações teóricas e algumas práticas. Resumidamente, são classificadas de acordo com a soma dos ângulos internos de um triângulo: maior que 180 ou menor que 180. A geometria esférica (ou da esfera de Rienman) é aquela onde as retas são os círculos máximos, isto é, de centro no centro da esfera e raio até um ponto desta. Com tais retas, pode-se construir um triângulo com três (!!) ângulos retos. Imagine o meridiano de Greenwich, o de 90 graus e o equador. Se necessário, pegue um globo terrestre. É fácil ver que o V postulado (o axioma das paralelas escrito por Euclides) não vale nessa geometria. A geometria do Plano de Poincaré (é essa a geometria elíptica?) toma a região do plano cartesiano onde y>0 e adota como retas x = k e arcos de circunferências centradas no eixo x e com raios quaisquer. Pode parecer estranho à primeira vista (e realmente é), mas, assim, vc pode construir um triângulo com menos de 180. Já a geometria Euclidiana foi reescrita por alguns, como por exemplo por Legendre. Legendre resolveu adotar outros postulados para construir a mesma geometria de Euclides. Contudo, ao tentar provar o V postulado, ele cometeu um erro de raciocínio que passou indetectado por anos. Isto é, todos sabiam que haviam um erro na argumentação dele, mas não conseguiam achá-lo. Quem tiver acesso, vale a pena dar uma olhada nos livros dele. Espero ter sido de alguma ajuda e/ou esclarecimento e espero também que alguém me corrija se tiver falado umas besteirinhas... :-) []'s Alexandre Tessarollo PS: Villard, vc deve (ou pelo menos deveria) estar vendo estas noções (e não o estudo aprofundado) em Geometria I com a Walcy. Estudo de geometrias não-euclidianas MESMO, só em Geometria II, que é eletiva. A propósito, bem vindo, calouro. Abraços do seu veterano.. hehe Rodrigo Villard Milet wrote: > Sim ! Se você tiver soma dos ângulos internos igual a 180, com certeza está > presente o axioma das paralelas ! > ¡ Villard ! > -----Mensagem original----- > De: Rogerio Fajardo <[EMAIL PROTECTED]> > Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> > Data: Segunda-feira, 9 de Abril de 2001 11:40 > Assunto: Re: triângulo com mais de 180o? > > > > >Isso significa que poderíamos substituir o axioma das paralelas pelo > >axioma: "Existe um triângulo em que a soma dos ângulos é 180°"? Isto é, > >a existência de um triângulo cuja soma dos ângulos é 180° implica o axioma > >das paralelas e, consequentemente, que em todos os triângulos a soma dos > >ângulos é 180°? > > > >>From: "Antonio" <[EMAIL PROTECTED]> > >>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > >>To: <[EMAIL PROTECTED]> > >>Subject: Re: triângulo com mais de 180o? > >>Date: Sun, 8 Apr 2001 18:46:03 -0300 > >> > >> Até onde eu saiba, em geometrias não euclidianas, a soma dos ângulos > >>do > >>triângulo pode ser tanto menor qto maior do que 180 graus. > >> Mas como esta não é minha especialidade, deixo para os mestres da > >>lista > >>comentarem mais o assunto! > >> > >>----- Original Message ----- > >>From: "Rodrigo Villard Milet" <[EMAIL PROTECTED]> > >>To: <[EMAIL PROTECTED]> > >>Sent: Sunday, April 08, 2001 1:14 AM > >>Subject: Re: triângulo com mais de 180o? > >> > >> > >> > A soma dos ângulos internos de um triângulo só é 180 graus na geometria > >> > euclidiana. Explicanco melhor : Se você verificar que a soma dos > ângulos > >> > internos de um triângulo é 180, você só pode estar trabalhando com a > >> > geometria euclidiana. De fato, num triânguo esférico, a soma dos > ângulos > >> > internos do triângulo é > 180 graus. Mas esse triângulo não é definido > >>na > >> > geometria plana euclidiana. Note que a prova de que a soma dos angulos > é > >>180 > >> > decorre do axioma das paralelas, que só é definido na geo euclidiana. > >> > Certamente, se você considerar uma geometria na superfície de uma > >>esfera, > >> > onde as retas são os grandes círculos, note que PAB será um triângulo > >>sim. > >> > Mas como nessa geometria não vale o axioma das paralelas, não podemos > >> > afirmar nada sobre a soma dos ângulos (só q ela é > 180). > >> > Abraços, > >> > ¡Villard! > >> > -----Mensagem original----- > >> > De: vinicius <[EMAIL PROTECTED]> > >> > Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> > >> > Data: Domingo, 8 de Abril de 2001 00:55 > >> > Assunto: triângulo com mais de 180o? > >> > > >> > > >> > >considerem a forma esférica da Terra. tracemos duas linhas de seu > >>extremo > >> > >superior ou inferior (pólo norte ou pólo sul) - ponto P - até dois > >>pontos > >> > >distintos pertencentes à linha do Equador - pontos A e B. PAB pode ser > >> > >considerado um triângulo? se a resposta for afirmativa, este triângulo > >> > >possuirá soma interna de seus ângulos maior que 180o. isto está de > >>acordo > >> > >com a definição de triângulo? > >> > > > >> > > > >> > > >> > > >> > > > >_________________________________________________________________________ > >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. > > > >