Oi,pessoal, Alem disso,os primos em Z que sao irredutiveis (ou primos) em Z[i] sao exatamente os primos positivos congruentes a 3 modulo 4 (e seus simetricos aditivos).Por outro lado,2=(1+i)(1-i),donde 2 nao e' primo em Z[i],mas 1+i,1-i,-(1+i) e -(1-i) sao,e primos congruentes a 1 modulo 4 podem ser escritos como soma de dois quadrados. Teremos entao p=(a+bi)(a-bi),e (a+bi),(a-bi),-(a+bi),-(a-bi) sao primos em Z[i], completando a nossa lista. Um problema que usa aritmetica em Z[i]:Prove que um triangulo com lados e area inteiros pode ser colocado no plano com vertices de coordenadas inteiras. A prova da existencia e unicidade de fatoracao como produto de primos usa o fato de que o mdc de dois numeros em Z[i] e' combinacao linear deles (com coeficientes em Z[i]). A prova dessas coisas e' bastante analoga a prova desses fatos para Z (vejam meu artigo na Eureka 2),e usa a divisao com resto em Z[i]:dados a e b em Z[i] com b nao nulo existem q e r em Z[i] tais que a=bq+r e |r|<|b| (provem isso e usem para provar as afirmacoes acima). Abracos, Gugu At 14:05 06/06/01 -0300, you wrote: > > >On Wed, 6 Jun 2001, Einstein wrote: > >> Acho que não devo ter sido claro... >> O que são inteiros gaussianos, e como é o critério de divisibilidade >> deles... E além disso poderiam dizer algumas propriedades deles ... > >Inteiros gaussianos são números complexos da forma a+bi com a e b inteiros. >O conjunto dos inteiros gaussianos é normalmente denotado por Z[i] >onde este Z deve ter uma barra dupla como no conjunto dos inteiros. >Conjuntos como este, onde são definidas as operações +, - e * >com as propriedades > >(x+y)+z = x+(y+z) >0+x = x+0 = x >x+(-x) = (-x)+x = 0 >x+y = y+x >x*(y*z) = (x*y)*z >x*(y+z) = (x*y)+(x*z) >(x+y)*z = (x*z)+(y*z) >x*y = y*x >x*1 = 1*x = x > >são chamados de anéis comutativos com unidade. >Por isso falamos do anel dos inteiros gaussianos. > >Definimos a relação de divisibilidade da mesma forma em qualquer >anel comutativo com unidade A: > >x|y <=> existe z com x*z=y > >Definimos > >x é inversível <=> existe y com x*y = 1 > >(alguns preferem a palavra invertível) e dizemos ainda que > >x é irredutível (em A) <=> (para quaisquer y e z, x=y*z => y ou z inversível) > >e > >x é primo (em A) <=> (x|y*z => x|y ou x|z). > >Os conceitos de irredutível e de primo coincidem em Z, Z[i] >e muitos outros anéis mas não sempre. > >Voltando a Z[i], neste anel há 4 inversíveis: +-1 e +-i. >Nem todo inteiro primo continua a ser primo em Z[i]: 5 = (2+i)*(2-i). >Mas em Z[i] ainda temos fatoração única em fatores primos (como em Z); >por exemplo > >30 = (-i) * (1+i)^2 * 3 * (2+1) * (2-i) > >[]s, N. > >
Re: RES: Primos, multiplos e divisores
Olimpiada Brasileira de Matematica Wed, 06 Jun 2001 10:26:09 -0700
- RES: Primos, multiplos e divisores Einstein
- RES: Primos, multiplos e divisores Einstein
- Re: RES: Primos, multiplos e divis... Nicolau C. Saldanha
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