Ao tentar resolver a quest�o n�mero 1, me equivoquei e fui tentado ao
dividir por 4 um n�mero terminado em ...44, justificando que ele terminaria
em 11, o que nem sempre � verdade. Da� ter conclu�do o absurdo que um
quadrado n�o pode terminar na repeti��o de dois algarismos n�o nulos. Um
exemplo � 144. Logo, teremos:
1- Olhando m�d 10: Os quadrados perfeitos (qp) podem terminar em
0,1,4,5,6,9.
Analisando os dois �ltimos d�gitos iguais...
Se for �mpar, ele n�o pode ser da forma 4k+3... Logo ele termina 33 ou
77. Mas mod 10, um qp n�o pode terminar em 3 ou 7.
Basta ver que se terminar em n�mero par...
Pode ser 00, 44 ou 66. Mas o qp par deve ser m�ltiplo de 4, ou seja...s�
pode terminar em 00, 44. N�o podemos considerar o caso 00, de acordo com a
quest�o. Um poss�vel n�mero qp que termina em 44 � 144.
J� terminando em tr�s d�gitos repetidos, s� precisar�amos analisar a
possibilidade quando estes s�o 4, devido os casos anteriores.
Da� os �nicos n�meros que queremos cujos quadrados terminam em 444 s�o:
Analisando m�d 10:
(..2)^2=..4
(..8)^2=..4
Analisando m�d 100:
(..12)^2=..44
(..38)^2=..44
(..62)^2=..44
(..88)^2=..44
Mas ...444, n�o � divis�vel por 8 (basta analisar os 3 �ltimos d�gitos),
da�, este quadrado perfeito n�o pode ser um quadrado de um n�mero m�ltiplo
de 4.
Ou seja, as �nicas possibilidades s�o 38 e 62.
Analisando m�d 1000:
(..038)^2=..444
(..462)^2=..444
(..538)^2=..444
(..962)^2=..444
Da�, Um quadrado pode ter at� tr�s n�meros repetidos no final do
n�mero.
S� precisamos analisar a possibilidade quando estes s�o 4, devido os casos
anteriores.
Provaremos que um quadrado n�o pode terminar em quatro n�meros 4.
Suponha que existe q^2 = (2n)^2 = x*10^4 + 4444
Da�: (2n)^2= 4*(25*x*10^2 + 1111)
(n)^2 = 25*x*10^2 + 1111
Da� n^2 termina em ...11, ou seja ele � da
forma 4k+3, absurdo, pois
nenhum n�mero de ssa forma � qp.
Segue o
resultado.
Desculpem eventuais erros...
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em
nome de Henrique Lima Santana
Enviada em: quarta-feira, 6 de junho de 2001 22:21
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: mais duvidas
algu�m pode me ajudar?
1. qual o maior numero de digitos iguais e diferentes de zero com q pode
terminar um numrero quadrado perfeito?
2. quantos triangulos diferentes, de lados inteiros, podem ser
constru�dos de modo q o(s) lado(s) maior(es) tenha(m) 5 cm de comprimento? 6
cm? n cm? Em cada caso, quantos s�o is�sceles?
3. uma caixa cont�m 900 cart�es,numerados de 100 a 900. retiram-se ao
acaso (sem reposi��o) cart�es da caixa e anotamos a soma dos seus
algarismos. qual � a menor quantidade de cart�es q devem ser retirados da
caixa , para garantirmos q pelo menos tres dessas somas sejam iguais?
valeuz
Henrique
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