Esse problema caiu em alguma Rioplatense mas não lembro quando... sei que foi recente. De fato, a, b e c devem ser inteiros.
Bom, temos a^2 + b^2 + 1 = c^2. Como o Ralph já demonstrou, a e b são pares e c é ímpar. Assim, na verdade queremos demonstrar que a/2 + (c-1)/2 = (a+c-1)/2 é par, ou seja, que a + c = 1 (mód 4). Da equação dada temos (c - a)(c + a) = b^2 + 1. Provaremos que b^2 + 1 não pode ter divisores p tais que p = 3 (mód 4). Suponha o contrário. Temos b^2 = -1 (mód p) logo b^(p-1) = (-1)^((p-1)/2) (mód p). Claramente p não divide b, logo, do teorema de Euler-Fermat, temos (-1)^((p-1)/2) = 1 (mód p). Mas se p = 4k + 3, (p-1)/2 = 2k + 1, e logo -1 = 1 (mód p), absurdo. Assim, sendo ímpar, b^2 + 1 é o produto de primos congruentes a 1 mód 4 e c + a é o produto de alguns deste primos, sendo portanto congruente também a 1 mód 4. []'s Shine --- Ralph Teixeira <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Hmmm... > > O primeiro nao pode ser verdade.... Afinal, a=0, c=2 e b="o que quer que precise" satisfaz a primeira parte mas nao a segunda. Serah que a,b e c nao eram naturais? > > Se forem naturais... bom, ainda nao consegui fazer para |a/2|+|c/2| nem achar um contra-exemplo. Se fosse |a/2|+|b/2|, eu saberia fazer: analise tudo a modulo 8. Os restos de n^2 sao sempre 0, 1 ou 4 modulo 8 (se n eh natural). Assim, para que a^2+b^2+1=c^2, devemos ter > - a^2=b^2=0 (modulo 8) e c^2=1 (modulo 8) > OU > - a^2=b^2=4 e c^2=1 (tudo modulo 8). > > No primeiro caso, a e b sao divisiveis por 4 e entao a/2 e b/2 sao pares. No segundo, a e b deixam resto 2 na divisao por 4, e entao a/2 e b/2 sao impares e acabou. > > Depois eu vou pensar no |a/2|+|c/2|.... > > Abraco, > Ralph > > ----- Original Message ----- > From: "Carlos Stein Naves de Brito" > <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Wednesday, October 17, 2001 7:39 PM > Subject: 2 problemas.. > > > Gostaria de ver soluções para esses probleminhas > que estão me entalando. > Valeu. > 1-Sejam a, b e c reais tais que a^2 + b^2 +1 = c^2. > Prove que |a/2| + |c/2| > é par. |x| é a parte inteira de x. > 2-Seja g(x)=ax^2 + bx + c uma função quadrática com > coeficientes reais(a não > nulo) tal que a equação g(g(x)) = x tem quatro > raízes reais distintas. > Demontre que não existe nenhuma função f:R->R tal > que f(f(x)) = g(x) para > todo x real. > > __________________________________________________ Do You Yahoo!? Make a great connection at Yahoo! Personals. http://personals.yahoo.com