Olá..
Estou aqui resolvendo um problema de funções do Iezzi, mas como
para esse tipo de exercício 'dissertativo' não há resposta nas últimas
páginas, não sei se cheguei a solução correta.
"Seja f uma função, definida no conjunto dos números naturais, tal que:
f(n + 1) = 2f(n) + 3
para todo n natural.
a) Supondo f(0) = 0, calcule f(1),f(2),f(3),f(4),... e descubra a "fórmula
geral" de f(n).
b) Prove por indução finita a fórmula descoberta."
(in IEZZI, Gelson FME vol 1. pp 157)
Fazendo f(1), f(2), f(3) etc.. achamos:
f(1) = 3, f(2) = 9, f(3) = 21,f(4) = 45, f(5) = 93 ... f(n) = ?
"expandindo" as contas, temos:
f(1) = (0.2) + 3
f(2) = (((0.2) + 3).2) + 3
f(3) = ((((0.2) + 3).2) + 3).2) + 3
f(4) = (((((0.2) + 3).2) + 3).2) + 3).2)+3
f(5) = ((((((0.2) + 3).2) + 3).2) + 3).2)+3).2 + 3
Tomando n = 3 e desenvolvendo:
f(3) = 3.2.2 + 3.2 + 3
o mesmo para n = 4:
f(4) = 3.2.2.2 + 3.2.2 + 3.2 + 3
ou 3.2³ + 3.2² + 3.2 + 3
Isso decorre de que n+1 é dado por n.2 + 3..
Colocando o 3 em evidência.. e notando que a maior potência de 2 é igual a n-1:
f(n) = 3(2^(n-1) + 2^(n-2) + .... + 2^1 + 2^0)
ou ainda f(n) = 3. somatória[para k = 0 até n - 1] 2^k
A fórmula funciona para qualquer n pertencente aos naturais e diferente de
zero.
Daí que vem minha dúvida... a fórmula que eu achei pode ser considerada
'termo' geral, se não é válida para 0?
Alguém tem alguma idéia de outra fórmula geral?
Grato pela atenção..
"Against stupidity, the Gods themselves contend in vain",
Friedrich von Schiller's
-
[]'s
{O-Grande-Mentecapto}
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