Resposta do problema 3: <(XYZ) representa o angulo entre os segmentos de reta XY e YZ.
Seja AQB um triângulo com AQ = 6, BQ = 10, AB = k, com Q exterior a ABC. Ora, AQB é semelhante a APC (na verdade, sao até congruentes), donde: <(BAQ) = <(CAP) (I) Como o triângulo ABC é equilátero: <(CAB) = 60 graus = <(CAP) + <(PAB) (II) De I e II vem: 60 graus = <(CAP) + <(PAB) = <(BAQ) + <(PAB) = <(PAQ) (III) Do triângulo APQ vem; <(AQP) + <(QPA) + <(PAQ) = 180 graus (IV) Mas AQ = AP, logo: <(AQP) = <(QPA) = x (V) De III, IV e V, vem: x + x + 60 = 180 --> 2x = 120 --> x = 60 graus, donde: O triângulo AQP é equilátero de lado 6 --> AQ = AP = PQ = 6 Como PQ = 6, BP = 8 e BQ = 10, aplicamos a lei dos cossenos em <(BPQ): 10^2 = 6^2 + 8^2 - 2*6*8*cos(<(BPQ)) 2*6*8*cos(<(BPQ)) = 0 --> cos(<(BPQ)) = 0 (VI) Como <(BPQ) está entre 0 e 180 graus (exclusos), de VI podemos concluir que: <(BPQ) = 90 graus <(BPA) = <(BPQ) + <(APQ) = 90 + 60 = 150 graus Aplicando a lei dos cossenos em <(BPA), vem: k^2 = 6^2 + 8^2 - 2*6*8*cos(150) k^2 = 36 + 64 - 96 * (-sqrt3)/2 = 100 + 48sqrt3 k = sqrt(100 + 48sqrt3) ~= 13,53286514 Espero ter ajudado, [ ]'s Alexandre Terezan -----Mensagem Original----- De: "Vinicius José Fortuna" <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: Terça-feira, 4 de Dezembro de 2001 13:02 Terezan Assunto: Re: ajuda (ERRATA) On Mon, 3 Dec 2001, Vinicius José Fortuna wrote: Ops!, Cometi alguns equívocos: > > 2) Qual o 496o termo da sequencia 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...? > > Nessa sequência, o último número n aparece na posição n(n+1)/2, que é o > somatório de 1 a n. Então para descobrirmos o 496o. termo, devemos > resolver a inequação: > x(x+1)/2 >= 496, x>0 > > Isso dá > x >= 31,5 > > Portanto o 496o. termo da sequência é 32 Errei as contas. É x>=31. Então o 496o. termo é 31. > > 3) No interior do triângulo ABC, equilátero, existe um ponto P tal que > > AP = 6, BP = 8 e CP= 10. Determine o perímetro do triângulo ABC. > > Se eu não me engano, existe um teorema que diz que a soma das distâncias > de qquer ponto interior de um triângulo equilátero é constante e igual a > 2 x tamamnho do lado. Alguém pode confirmar isso pra mim? Na verdade o teorema que eu estava pensando diz que a soma distâncias de qquer ponto interior a todos os lados é constante e igual à altura. Mas aí não dá para resolver de forma tão direta. :-( Até mais Vinciius