Da pra fazer esse limite, (sen x)/x, com x tende a zero so com geometria e o teorema do confronto.
Fazendo a figura, em um ângulo pequeno, você vê que: sen x <= x <= tg x logo, dividindo tudo por sen x: 1 <= x/senx <= sec x lim 1 <= lim(x/sen x) <= lim(sec x) 1 <= lim(x/sen x) <= 1 logo lim(x/sen x) =1 ----- Original Message ----- From: Eduardo Casagrande Stabel <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, December 11, 2001 1:01 AM Subject: Re: limites > From: "Rodrigo Villard Milet" <[EMAIL PROTECTED]> > > Não entendi direito sua pergunta 1, mas parece que vc quer um jeito de > > calcular o limite de sen(x)/x, qd x ->0. Acho que basta usar a série para > > sen(x) : > > sen(x)/x = (x - x^3/3! + x^5/5! - .... )/x = 1 - x^2/3 + x^4/5! -.... que > > para x ->0, vai pra 1. > > Eu sei que o uso de série de potência está camuflando derivadas tb, mas > não > > deixa de "não usar l`hôspital". > > Periga eu dizer besteiras. > Eu acho que em grande parte dos livros, voce nao precisa de derivadas para > definir series de potencias. Voce so precisa da definicao de limite e > esclarecer o que significa a soma infinita. > Um jeito eh: > (a_1 + a_2 + a_3 + ... ) = lim(n->infinito) (a_1 + a_2 + ... + a_n) > > Para definir uma soma infinita de funcoes (como eh o caso do sen(x)) voce > poe para cada x a soma infinita das funcoes naquele ponto x, e interessa a > ordem das funcoes. > > Acho que o Jose Paulo quis dizer que para calcular lim(x->0) (sen(x)/x) > utilizando a regra de L´Hopital, voce precisa saber calcular a derivada de > sen(x) no ponto x=0. Por definicao: > > sen ' (0) = lim(h->0) (sen(0+h) - sen(h))/h) = lim(h->0) (sen(h)/h) > > Ou seja, voce ja precisa saber calcular o limite lim(x->0) (sen(x)/x) para > calcula-lo pela regra de L'Hopital. > > Para saber que a derivada de sen(x) eh cos(x) voce precisa saber que a > derivada de sen(x) no ponto x=0 é igual a cos(0)=1, o que, por definicao, > quer dizer que lim(h->0) (sen(h)/h) = 1. Ou seja, se voce usa a definicao > usual de derivada nao eh possivel saber que a derivada de sen(x) eh cos(x) > sem saber que lim(x->0) (sen(x)/x). Entao a pergunta do Jose Paulo foi so > retorica. > > > > > > Eu concordo em parte com isso de só usar o que sabemos provar. Mas também > > não podemos levar isto tanto a sério né... pois assim eu não poderia usar > > relógio :)) brincadeira ! > > Mas vale a pena saber como demonstrar esse teoremas sim... > > A regra de l`hôspital é que se f e g são funções tais que o limite > f(x)/g(x) > > ( com x tendendo a "a" ) é indeterminado do tipo 0/0, então este limite é > > igual ao limite de f`(x)/g`(x), com x ->a . > > So um detalhe. > Se o lim f(x)/g(x) eh indeterminado (nao existir), voce nao pode usar a > regra de L´Hopital. > Se o lim f(x)/g(x) for determinado (existir) e lim f(x) = 0 e lim g(x) = 0, > aí vale a igualdade lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) pelo motivo que voce > deu. > > Eduardo. > > > Bem, com as hipóteses, temos que f(a) = g(a) = 0. Logo, lim[f(x)/g(x)] = > > lim[f(x) - f(a)/g(x)-g(a)] = lim[(f(x) - f(a))/(x-a)] / lim > > [(g(x)-g(a))/(x-a)] = lim f`(x)/g`(x). > > > > É claro que f e g devem ser deriváveis e também é claro que podemos > dividir > > por x-a no limite, pois o limite é tomado numa vizinhaça furada de a, logo > > x-a é diferente de zero. > > JP, você está certo nisso sim... tenho quase certeza de que mais de 90% > das > > pessoas que cursam cálculo 1 não tentaram demonstrar ou viram a > demonstração > > da regra acima... isso não deveria ser assim... mas... > > > > > > Abraços, > > Villard > > > > -----Mensagem original----- > > De: Jose Paulo Carneiro <[EMAIL PROTECTED]> > > Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> > > Data: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 23:33 > > Assunto: Re: limites > > > > > > >cotg ^(1/log) eh o inverso de tg^(1/log) = e^(ln tg x / ln x). > > >Quando x->0 (pela direita, eh claro), ln tg x e ln x tendem ambos > > >a -infinito. > > >vale L'Hopital: o quociente das derivadas eh > > >(sec^2 x / tg x) / (1/x) = x / sen x cos x -> 1. > > >Logo o limite eh: 1/e > > >(se nao houver erro de conta) > > > > > >Quanto ao segundo, uma variante, para variar: > > >a derivada de e^x para x=0 eh sabido = 1. > > >Esta derivada, por definicao, eh e^h - 1 / h quando h-> 0. > > >Substituindo h por 2x (por que vale?): > > >e^(2x)-1 / 2x tende a 1. > > >Logo e^(2x)-1 / x tende a 2. > > > > > >[Sempre que posso, evito usar L'Hopital, por 2 motivos: > > >1) muitas vezes, o uso de l'Hopital esconde o uso da propria definicao de > > >derivada. exemplo: > > >sen x / x quando x tende a 0. Por l'Hopital, cos x / 1 tende a 1. mas > como > > >voce sabe que a derivada de sen x eh cos x, se nao souber que senx / x > > tende > > >a 1? alguem conhece um jeito? > > >2) Alguem ahi ja demonstrou l'Hopital? Eu so gosto de usar aquilo que > algum > > >dia demonstrei. > > >Ih, ja sei que vai dar polemica...] > > > > > >JP > > > > > > > > > > > >----- Original Message ----- > > >From: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves <[EMAIL PROTECTED]> > > >To: <[EMAIL PROTECTED]> > > >Sent: Monday, December 10, 2001 8:57 PM > > >Subject: Re: limites > > > > > > > > >confere com o que eu tinha achado sim... valeu vinicius e juliana > > >e quanto à primeira vcs encontraram algo? > > > > > >----- Original Message ----- > > >From: "Vinicius José Fortuna" <[EMAIL PROTECTED]> > > >To: <[EMAIL PROTECTED]> > > >Sent: Monday, December 10, 2001 6:12 PM > > >Subject: Re: limites > > > > > > > > >On Mon, 10 Dec 2001, Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote: > > > > > >> qual o limite das seguintes funções? > > >> > > >> lim (cotgx)^(1/lnx) > > >> x-> 0 > > >> > > >> > > >> lim (e^2x -1)/x > > >> x->0 > > > > > >Essa eu acho que sei: > > > > > >lim{x->0} (e^2x - 1)/x = > > >lim{x->0} (e^2x)/x - 1/x = > > >lim{x->0} (e^2x)/x > > >Por L'Hopital (é assim que se escreve?) > > >= lim{x->0} 2.(e^2x) + 2x.(e^2x) = > > >= 2 > > > > > >Confere? > > > > > >Até mais > > > > > >Vinciius > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >