O Anglo deu-se mal! Consulte www.gpi.g12.br A solução deles mostra que nenhum dos outros dois ganhou. Se tivessem continuado o raciocínio, veriam que o outro também não poderia ter ganho e marcariam E, ou seja, que os dados são incompatíveis. Morgado
niski wrote: >Ola colegas da lista! Gostaria que os srs escrevessem falassem qual é a >resposta mais adequada da questao mais comentada do ITA 2002, já que sei >que todos por aqui gostam e sabem muito de matematica. > >O Curso Anglo dá como gabarito a letra A >Os demais cursinhos (ETAPA, Objetivo, Poliedro, Alferes e COC) dão como >gabarito a letra E. > >Irei transcrever o problema ,a solução do Anglo e a solucao do ETAPA. >Gostaria de saber da opiniao dos srs. Qual cursinho está correto > >ENUNCIADO: >O seguinte trecho de artigo de um jornal local relata uma corrida >beneficente de bicicletas: Alguns se-gundos >após a largada, Ralf tomou a liderança, seguido de perto por David e >Rubinho, nesta ordem. Daí >em diante, eles não mais deixaram as primeiras três posições e, em >nenhum momento da corrida, estiveram >lado a lado mais do que dois competidores. A liderança, no entanto, >mudou de mãos nove vezes entre os >três, enquanto que em mais oito ocasiões diferentes aqueles que corriam >na segunda e terceira posições >trocaram de lugar entre si. Após o término da corrida, Rubinho reclamou >para nossos repórteres que >David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da >bandeirada de chegada. Desse >modo, logo atrás de David, Rubinho não pôde ultrapassá-lo no final da >corrida. >Com base no trecho acima, você conclui que >A) David ganhou a corrida. >B) Ralf ganhou a corrida. >C) Rubinho chegou em terceiro lugar. >D) Ralf chegou em segundo lugar. >E) não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não >apresenta uma descrição matema-ticamente >correta. > >RESOLUCOES: ANGLO - LETRA A: >Para que Ralf ganhe a corrida, é necessário que ele participe de um >número par de trocas de liderança, >algumas com David e outras com Rubinho. >Como o número de trocas de liderança é nove, devemos ter um número ímpar >de trocas de liderança >sem a participação de Ralf, ou seja, entre David e Rubinho. >Sabemos, do enunciado, que Rubinho começa e termina a corrida atrás de >David. Assim, o número total >de trocas de posição entre eles é necessariamente par. >Como é ímpar o número de trocas entre David e Rubinho na liderança, deve >também ser ímpar o nú-mero >de trocas entre eles na segunda e terceira posições. >Sabemos, também do enunciado, que o número de trocas entre o segundo e o >terceiro colocados é oito e, >portanto, Ralf deve participar, necessariamente, de um número ímpar >delas. >Como Ralf começa a corrida em primeiro lugar, ele deve perder a >liderança antes de participar de uma >de suas trocas entre a segunda e a terceira posição. Trocas essas que >ele inicia como segundo colocado. >Sendo ímpar o número de trocas entre a segunda e a terceira posição, com >a participação de Ralf, ao >final dessas trocas ele estará na terceira posição, não podendo, assim, >reassumir a liderança. >Portanto não é possível que Ralf ganhe a corrida, e como o enunciado >afirma que Rubinho terminou a >corrida atrás de David, podemos concluir que David ganhou a corrida. > >ETAPA - LETRA E: >Representemos Ralf por 1, David por 2 e Rubinho >por 3. Em cada momento da corrida, a >classifica-ção é uma terna ordenada desses três números >ou está ocorrendo uma inversão (troca de >posi-ções entre dois ciclistas). >Como a liderança mudou de mãos 9 vezes, e em >mais 8 ocasiões aqueles que corriam na segunda >e terceira posições trocaram de lugar entre si, >houve no total 17 inversões. >Temos que, após um número ímpar de inversões, >podemos obter somente as classificações (2; 1; 3), >(1; 3; 2) e (3; 2; 1). >Rubinho chegou logo atrás de David, portanto a >classificação final é (1; 2; 3) ou (2; 3; 1). >Nenhu-ma das quais poderia ter sido obtida com um >nú-mero ímpar de inversões. >Conseqüentemente, não é possível determinar a >ordem de chegada, porque o trecho não >apresen-ta uma descrição matematicamente correta. > >POLIEDRO: RESPOSTA E: > >Como Rubinho deve terminar a corrida logo atrás de David, podemos ter >duas >possibilidades para o resultado da corrida: >1 o ) Ralf 2 o ) David 3 o ) Rubinho (A) >ou >1 o ) David 2 o ) Rubinho 3 o ) Ralf (B) >A primeira possibilidade é a mesma do início da corrida. Para que Ralf >termine em >primeiro lugar, ele deve trocar de posição um número par de vezes. >Para David e Rubinho também terminarem na mesma posição em que estavam, >devem >trocar de lugar um número par de vezes. Assim, essa possibilidade não >pode ocorrer. >Considere, agora, a segunda possibilidade. Antes de os concorrentes >chegarem à >posição final, eles poderiam ter estado nas seguintes configurações: >1 o ) David 2 o ) Ralf 3 o ) Rubinho (C) >ou >1 o ) Rubinho 2 o ) David 3 o ) Ralf (D) >Na opção (C), já realizamos uma troca entre o segundo e terceiro >lugares, restando 9 >trocas entre 1 o e 2 o e 7 trocas entre 2 o e 3 o . Rubinho começou em >último lugar e deve >continuar ali, devendo passar por um número par de trocas. Porém, >devemos realizar 7 >trocas de 2 o e 3 o lugar, não sendo possível que Rubinho ali permaneça. >Falta a opção (D). Da posição inicial até a (D), devemos passar pelas >seguintes >configurações: >1 o ) Ralf 2 o ) David 3 o ) Rubinho (posição inicial) >1 troca >1 o ) David 2 o ) Ralf 3 o ) Rubinho >1 troca >1 o ) David 2 o ) Rubinho 3 o ) Ralf >1 troca >1 o ) Rubinho 2 o ) David 3 o ) Ralf (E) >Restam, então, 7 trocas entre 1 o e 2 o lugar e 7 trocas entre 2 o e 3 o >lugares. Porém, (E) é >igual a (D), e devemos ter um número par de trocas até o final (mesmo >raciocínio do >primeiro caso). >Assim, não há posição final válida com as condições indicadas. > > >Obrigado pessoal! >-- >"Now I will have less distraction." >[upon losing the use of his right eye] >Leonhard Euler > >