Oi, gente. >1)Seja f:R==>R,não identicamente nula,tal que > >f(x)*f(y)=(1/2)[f(x+y)+f(x-y)] e f(1)=0,para todos os números reais x e y. > >a)Mostre que f(0)=1,f(2)=-1,f(3)=0 e f(4)=1. >b)Mostre que f(x+4)=f(x),para todo x real. >c)Existe de fato tal função.
Bom, (a) saiu? Ok... Para (b), experimente fazer y=1 e prove que f(x+1)=-f(x-1), isto eh, f troca de sinal de 2 em 2. Assim, f(x+4)=-f(x+2)=f(x). Existe tal funcao? Bom, funcao periodica assim, 1,0,-1,0,1,0,-1,0,... me lembra senos e cossenos. Com um pouco de cuidado a gente tenta algo com periodo 4, por exemplo: f(x)=cos(Pi*x/2) e ve que dah certo (isto eh, cos(Pi*x/2) satisfaz as condicoes do enunciado... :P Pronto, tal funcao existe (mas nao dissemos nada a respeito dela ser unica!). Abraco, Ralph ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================