Uma resposta bem simples � tomar m = n = 0. Mas acho
que n�o � bem isso que vc quer. Vamos supor que
queremos m e n tais que
0 < |m*z - n| < epsilon
Bom, se m e n s�o naturais, isso nem sempre � verdade.
Tome z negativo, por exemplo, z = -raiz(2). Verifique
que |m*z - n| >= 1 se |m*z - n| n�o � nulo.
Mas se m e n s�o inteiros, isso � verdade (� o teorema
de Kronecker). Considere a seq��ncia {a*z}, a inteiro.
{x} aqui representa a parte fracion�ria de x. Divida o
intervalo 1 em q intervalinhos de comprimento 1/q
(vamos tomar aqui q > 0). Pelo princ�pio da casa dos
pombos, existe uma das m casas que tem dois termos da
seq��ncia. Assim, se b*z = k + {b*z} e c*z = l +
{c*z}, temos |{b*z} - {c*z}| < 1/q, Substituindo {b*z}
= b*z - k e {c*z} = c*z - l,temos |k - l + (b - c)*z|
< 1/q. Tome agora n = k - l e m = b - c. Temos |n +
m*z| < 1/q. Como q pode ser qualquer inteiro positivo,
podemos tomar q tal que 1/q < epsilon, ou seja, q >
1/epsilon. A� temos o que quer�amos.
� claro que d� para melhorar essas estimativas. Por
exemplo, existem sempre m e n inteiros tais que
0 < |m*z - n| < epsilon/|m|.
Para demonstrar isso, vc pode adaptar a demonstra��o
acima, mas estimando o valor de b - c e escolhendo
melhor o q.
[]'s
Shine
--- [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Ol� amigos da lista,
>
> acabo de sair da minha aula de analise real e a
> professora tentava demonstrar
> o seguinte teorema:
>
> seja z irracional e epsilon>0 entao mostre que
> existe m,n pertencentes aos
> Naturais tais que:
>
> |m*z-n|<epsilon
>
> depois de mais de uma hora tentando provar .. ela
> acabou desistindo ...
> muitos alunos afirmavam que o teorema era falso..
>
> sera que alguem poderia ajudar ??
>
> Agrade�o desde j�.
>
> Gabriel Haeser
> www.gabas.cjb.net
>
> "Mathematicus nascitur, non fit"
> Matem�ticos n�o s�o feitos, eles nascem
>
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