Siberia Olympia wrote:
> Caros amigos, gostaria de ajuda na quest�o
>
> Seja ABCDE um pent�gono de lados AB, BC, CD, DE e EA tal que
> Area(ABC)=Area(ABD)=Area(ACD)=Area(ADE)=17. Calcular a medida da �rea do
> tri�ngulo BCE.
>
> Um forte abra�o, cg.
S� por divers�o, vamos construir a figura :-) Coloque A, B e C quaisquer
no plano. . Se ABC=ABD, ent�o D est� numa paralela � AB que passa por C ou no
reflexo desta paralela em rela��o � AB. Se ABD=ACD, ent�o
D1 = C + vetor(AB)
D2 = C - vetor(AB)
D3 = intersec��o da reta refletida com uma paralela � BC passando por A
Se ABD=ADE, ent�o E est� na paralela � AD passando por B ou no reflexo
desta em rela��o � AD. Como A, D2 e D3 est�o alinhados, D2 e D3 d�o o mesmo
par de retas para E: a reta Bc e o reflexo desta com rela��o � AD2 (AD3). J�
D1 d� uma passando por C e outra por B, mas como ADB=ADC, ent�o essas
paralelas s�o equidistantes de AD1, logo n�o h� problemas.
Portanto, temos dados A, B e C, temos 3 op��es para D, depois disso,
colocar o E em qualquer lugar de duas paralelas � AD.
Se escolhermos D2 ou D3, n�o poderemos colocar E sobre a reta BC ou
�rea(BCE)=0. Assim, coloquemos sobre o reflexo de BC em rela��o � AD2 (AD3).
�rea(BCE) = BC*(dist[E,BC])
Como A equidista da reta em que est� E e da reta BC, temos que
dist[E,BC]=2*dist[A,BC]. Logo:
�rea(BCE) = 2*BC*(dist[A,BC]) = 2*�rea(ABC) = 34
No entanto, se escolhermos D1, a �rea de BCE poder� variar de zero a
infinito. Algu�m sabe explicar qual o erro em D1?? Tudo leva a crer que D2 e
D3 estejam certos, mas qual o erro de D1? Na figura � f�cil ver que o �nico
ponto E que d� a mesma resposta � (a intersec��o de CD1 com a paralela � AD1
que passa por B) ou, equivalentemente, (D1+vetor(AB)). Ah sim, tb h� o
reflexo deste ponto em rela��o � BC. E a�, algu�m se habilita??
[]'s
Alexandre Tessarollo
=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]>
=========================================================================
