O Nicolau e o Morgado ja responderam de maneira sucinta. Mas como voce me provocou de modo especial, vou tambem responder de modo prolixo.
Ja para reais, a definicao de a^b nao eh "tranquila" e nao eh "uniforme". Para expoente natural >1: produto de b fatores, etc. Ja para b=1 e b=0, necessitamos de definicoes especiais (e talvez ja restricao para a=0). Para b racional positivo, eh conhecido, e tambem ja apresenta outras restricoes [por exemplo, (-2)^(3/2) nao eh definido]. Para b<0, eh conhecido, com a restricao adicional: a diferente de 0. Para b irracional (real de um modo geral), ja eh problematica. Ha varios caminhos. Um deles eh partir da funcao exponencial. E, curiosamente, isto pode ser feito diretamente nos complexos. Mas vamos comecar pelos reais. Suponha dada a funcao exponencial f(x)=exp(x)=e^x. [Isto pode ser definido: 1) por serie de potencias e^x=soma de 0 a infinito de x^n / n!, e obtem-se depois sua inversa, o logaritmo natural; ou, por exemplo: 2) como inversa da funcao logaritmo natural, a qual seria definida como a integral de 1 a x de 1/t dt. Naturalmente, ha outros caminhos]. Agora, dado qualquer real positivo a, e qualquer real b, define-se a^b=e^(b ln a). com esta definicao, eh possivel mostrar que: 1) ficam preservadas as leis usuais de exponenciacao, como a^(b+c)=(a^b)*(a^c); 2) se o expoente for racional, esta definicao coincide com as definicoes anteriores. Passemos para os complexos, onde comecaremos de novo com a funcao exponencial, generalizada agora para complexos. Muitas pessoas, como eu, estudaram, na decada de 70, pelos livros do Walter Rudin. Havia o Rudinzinho (Principles of Mathematical Analysis), o Rudinzao (Real and Complex Analysis) e o Rudinzasso (Functional Analysis). Antes do capitulo 1, o Rudinzao comeca com um Prologo assim: "A Funcao Exponencial. Esta eh sem duvida a funcao mais importante em Matematica. Eh definida, para todo numero complexo z, pela formula: exp(z)= soma de 0 a infinito de z^n / n! " E, nas 3 paginas seguintes, mostra que isto estah bem definido, que tem as propriedades esperadas de exponenciacao, tira os casos particulares de reais, e mais: dahi, ele define (!) seno e cosseno e mostra que, como apontou o Nicolau, exp(x+iy)=e^x cis y, onde x e y sao reais, e cis=cos + i sen. A ideia natural de definir um logaritmo para complexos seria, como no caso real, tomar a inversa de exp. Infelizmente, enquanto exp, restrita aos reais, eh bijetiva, isto nao ocorre nos complexos em geral. Por exemplo, exp(2k pi)=1, para todo k inteiro. Isto gerou, historicamente, toda uma questao. No inicio, definiu-se logaritmo como uma "funcao multivoca", do qual se destacavam infinitos "ramos" continuos. Mais tarde, estes conceitos cairam em desuso. Hoje costuma-se reservar, como todos sabem, o nome de funcao so para as antigas "funcoes univocas": a cada z associa-se um e somente um f(z), etc. Com isto, ha, nos complexos, uma infinidade de funcoes logaritmo [mesmo se impusermos restricoes de continuidade ou analiticidade]. Em outras palavras, cada complexo tem uma infinidade de logaritmos. Mais precisamente: dado z=r cis t nao nulo, achar ln(z)=w=x+iy equivale a resolver e^w=z, ou seja: e^x cis y = r cis t. Encontra-se: x= ln r [aqui o logaritmo real] e y=t+2k pi. Conclusao: os logaritmos de z sao: ln r + i (t+2k pi). E, finalmente, para z^w, a ideia eh, para preservar as propriedades de exponenciacao, definir z^w = e^(w ln z). E eh isto mesmo, so que ln z assume uma infinidade de valores. E isto explica porque z^w tem uma infinidade de valores, como havia dito o Nicolau. Exemplo: (1+i)^i = e^(i ln(1+ i)) . Porem, ln(1+i)= ln (raiz de 2) + i (pi/4 + 2k pi). Portanto: (1+i)^i = e^(-pi/4-2k pi) cis(1/2 ln 2) [confira!]. JP ----- Original Message ----- From: Alexandre Tessarollo <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, March 30, 2002 2:08 AM Subject: [obm-l] (a+bi)^(c+di) Esta � para todos, em especial o JP e o s�quito de "seguidores" que se forma aqui na lista :-) Como fa�o para elevar um n�mero complexo qualquer a outro? Sei que isso � poss�vel, mas ainda n�o vi essa parte na fac... Seria poss�vel pelo menos uma dica ou id�ia de como se faz? Alguma bibliografia? []�s e Feliz P�scoa!! Alexandre Tessarollo ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
