Ola Pessoal ! Numa Mensagem anterior fiz referencia a o TRIANGULO HARMONICO. Surpreendentemente algumas pessoas me contactaram solicitando mais informacoes sobre este TRIANGULO ARITMETICO. Com esta mensagem tento responder a todos.
O TRIANGULO HARMONICO comeca com a SERIE HARMONICA na vertical ( que e a PRIMEIRA COLUNA do triangulo ), iniciando assim : 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 ... Para montar a segunda coluna iniciamos na segunda linha. Cadas termo da segunda coluna e igual a diferenca entre dois outros da primeira coluna : o que esta a sua esquerda e o que esta acima dele. Asim : 1 - 1/2=1/2; 1/2 - 1/3=1/6; 1/3 - 1/4=1/12; 1/4 - 1/5=1/20; 1/5 - 1/6=1/30; 1/6 - 1/7=1/42; 1/7 - 1/8=1/56. 1 1/2 1/2 1/3 1/6 1/4 1/12 1/5 1/20 1/6 1/30 1/7 1/42 1/8 1/56 ... ... Para montar a terceira coluna iniciamos na terceira linha. Cadas termo da terceira coluna e igual a diferenca entre dois outros da segunda coluna : o que esta a sua esquerda e o que esta acima dele. Asim : 1/2 - 1/6=1/3; 1/6 - 1/12=1/4; 1/12 - 1/20=1/30; 1/20 - 1/30=1/60 1/30 - 1/42=1/105; 1/42 - 1/56=1/126 1 1/2 1/2 1/3 1/6 1/3 1/4 1/12 1/12 1/5 1/20 1/30 1/6 1/30 1/60 1/7 1/42 1/105 1/8 1/56 1/126 ... ... ... Bom. Agora e facil construir o triangulo. A i-esima coluna inicia na i-esima linha e cada termo e igual a diferenca entre dois outros da (i-1)-esima coluna : o que esta a esquerda e o que fica acima deste. Esse traingulo e tambem conhecido como TRIANGULO DE LEIBNIZ. Por que ? Porque Leibniz o usou para calcular o valor da serie infinita dos inversos dos numeros triangulares ( Este problema foi proposto a Leibniz por Huigens ). Leibniz fez : 1/[N(N+1)] = 1/N - 1/N+1 portanto : 1/1*2 + 1/2*3 + ... = 1 - 1/(N+1) logo o Limite ( para N tendendo ao infinito ) da UM. Observe que esta serie e a segunda coluna do TRIANGULO HARMONICO. De maneira geral, somando qualquer coluna desde o infinito ate um termo qualquer, o resultado e o termo acima do termo imediatamente a esquerda do ponto de parada. O triangulo tem, para cada propriedade do triangulo de pascal, uma semelhante. Isso e altamente inspirador ... Fica dificil nao imaginar que estes dois triangulos nao sejam os aspectos visiveis e conhecidos de uma estrutura mais ampla, da qual pudessemos deduzir nao so os fatos relativos a eles que ja conhecemos mais muitas outras mais, talvez surpreendentes, que jogassem para mais longe os limites de nossa ignorancia ... Talvez o obstaculo basico a se transpor e nos livrar da forma tradicional de contagem, quando dizemos quase inconscientemente que o numero binomial BIN(N,P) e a quantidade de conjuntos de P elementos que podemos formar de um conjunto com N elementos. Por que nao ver a contagem tradicional como uma mera interpretacao ? Se pensarmos assim BIN(N,P) pode ser apenas "AS COORDENADAS" de "UM LUGAR" que, eventualmente, pode ser interpretada como uma contagem. Essa forma de olhar as coisas nos permitiria associar a cada termo do TRIANGULO HARMONICA um par de coordenadas (N,P) com N negativo ... O livro do Prof Nicolau ( Matematica Quantica ) disponivel na home-page dele fala de "q-contagens" e constroi estruturas que de alguma forma mantem um paralelo com estas coisas ... Bom. Acho que, agora, o triangulo harmonico ficou mais conhecido e a sua importancia realcada. Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 6,1247,050402 _________________________________________________________________ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
