> Olá, gostaria de ajuda nestas 2 questões: >1.Prove que existem infinitos nºs da forma 1999...9991 que são múltiplos de >1991.
Essa é da OBM de 1991. Notemos que 1999...991 = 2000...00 – 9 = 2.10^(n + 1) – 9 = 2000.10^(n – 2) – 9 e que 1991 = 11.81 Assim, como 2000 == 9 (mod. 1991) => 1999...991 == 9(10^(n – 2) – 1) (mod. 1991). Para que 1999...991 seja múltiplo de 1991, devemos ter: 9(10^(n – 2) – 1) == 0 (mod. 1991) => 10^(n – 2) == 1 (mod. 1991), uma vez que 9 e 1991 são primos entre si. Sendo 181 e 10 primos entre si, pelo teorema de Fermat: 10^180 == 1 (mod. 181). Analogamente, para 11 e 10: 10^10 == 1 (mod. 11) => 10^180 == 1 (mod. 11). Assim, temos que 10^180 – 1 é múltiplo de 181 e 11 e, portanto, múltiplo do mínimo múltiplo comum de 11 e 181, que é 1991. Em outras palavras: 10^180 == 1 (mod. 1991). Desta forma, para n = 182 => 1999...991 == 0 (mod. 1991), onde temos 182 números 9. Como 10^(180k) == 1 (mod. 1991) então basta fazer n – 2 = 180k => n = 180k + 2 para que os números da forma 1999...991 (com n 9’s) sejam múltiplos de 1991. >2.Prove que existem infinitos primos da forma 4k +3. Esse é um problema clássico, tem em vários livros de olimpíadas e caiu na olimpíada da Espanha em 1992. Suponhamos, por absurdo, que exista um número finito de primos da forma pi = 4n – 1. Seja o número N = 4p1p2p3…pn – 1, onde pi são todos os primos da forma 4n – 1. Notemos que N também é da forma 4n – 1 e é ímpar. Fatorando em fatores primos N, temos que os primos que dividem N devem ser da forma 4n – 1 e 4n + 1. Repare que: (4n1 – 1)(4n2 – 1) = 4(4n1n2 – n1 – n2) + 1 = 4k + 1 (4n1 – 1)(4n2 + 1) = 4(4n1n2 + n1 – n2) – 1 = 4k – 1 (4n1 + 1)(4n2 + 1) = 4(4n1n2 + n1 + n2) + 1 = 4k + 1 Como mdc (N, pi) = 1, então cada pi não divide N Entretanto, na fatoração de N temos que ter fatores primos da forma 4n – 1, pois somente multiplicando um termo da forma 4n1 – 1 com outro da forma 4n2 + 1 conseguimos um número da forma 4k – 1, que é a forma de N. Assim, este fator primo de N da forma 4n – 1 deve ser distinto dos outros primos pi da forma 4n – 1, que é um absurdo, pois todos os primos da forma 4n - 1 estão na expressão de N. >Obrigada! > Fê > Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira _________________________________________________________________ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
