> Ol�, gostaria de ajuda nestas 2 quest�es: >1.Prove que existem infinitos n�s da forma 1999...9991 que s�o m�ltiplos de >1991.
Essa � da OBM de 1991. Notemos que 1999...991 = 2000...00 � 9 = 2.10^(n + 1) � 9 = 2000.10^(n � 2) � 9 e que 1991 = 11.81 Assim, como 2000 == 9 (mod. 1991) => 1999...991 == 9(10^(n � 2) � 1) (mod. 1991). Para que 1999...991 seja m�ltiplo de 1991, devemos ter: 9(10^(n � 2) � 1) == 0 (mod. 1991) => 10^(n � 2) == 1 (mod. 1991), uma vez que 9 e 1991 s�o primos entre si. Sendo 181 e 10 primos entre si, pelo teorema de Fermat: 10^180 == 1 (mod. 181). Analogamente, para 11 e 10: 10^10 == 1 (mod. 11) => 10^180 == 1 (mod. 11). Assim, temos que 10^180 � 1 � m�ltiplo de 181 e 11 e, portanto, m�ltiplo do m�nimo m�ltiplo comum de 11 e 181, que � 1991. Em outras palavras: 10^180 == 1 (mod. 1991). Desta forma, para n = 182 => 1999...991 == 0 (mod. 1991), onde temos 182 n�meros 9. Como 10^(180k) == 1 (mod. 1991) ent�o basta fazer n � 2 = 180k => n = 180k + 2 para que os n�meros da forma 1999...991 (com n 9�s) sejam m�ltiplos de 1991. >2.Prove que existem infinitos primos da forma 4k +3. Esse � um problema cl�ssico, tem em v�rios livros de olimp�adas e caiu na olimp�ada da Espanha em 1992. Suponhamos, por absurdo, que exista um n�mero finito de primos da forma pi = 4n � 1. Seja o n�mero N = 4p1p2p3�pn � 1, onde pi s�o todos os primos da forma 4n � 1. Notemos que N tamb�m � da forma 4n � 1 e � �mpar. Fatorando em fatores primos N, temos que os primos que dividem N devem ser da forma 4n � 1 e 4n + 1. Repare que: (4n1 � 1)(4n2 � 1) = 4(4n1n2 � n1 � n2) + 1 = 4k + 1 (4n1 � 1)(4n2 + 1) = 4(4n1n2 + n1 � n2) � 1 = 4k � 1 (4n1 + 1)(4n2 + 1) = 4(4n1n2 + n1 + n2) + 1 = 4k + 1 Como mdc (N, pi) = 1, ent�o cada pi n�o divide N Entretanto, na fatora��o de N temos que ter fatores primos da forma 4n � 1, pois somente multiplicando um termo da forma 4n1 � 1 com outro da forma 4n2 + 1 conseguimos um n�mero da forma 4k � 1, que � a forma de N. Assim, este fator primo de N da forma 4n � 1 deve ser distinto dos outros primos pi da forma 4n � 1, que � um absurdo, pois todos os primos da forma 4n - 1 est�o na express�o de N. >Obrigada! > F� > At� mais, Marcelo Rufino de Oliveira _________________________________________________________________ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
