Na verdade, é possível provar que {x>0/ x^x^x^x... converge}= [e^(-e), e^(1/e)] -- Mensagem original --
>Olá Rui, > Meu amigo Artur me apresentou esse problema na >semana passada: > Para x > e^(1/e), temos x=e^(1/e+y), onde y > 0 >logo x^x = e^((1/e+y)*e^(1/e+y)) > e^(e^(1/e+y-1)+y) >, pois e^(1/e+y) > 1. E como e^x > 1 + x para todo x, >temos e^(e^(1/e+y-1)+y) > e^(1/e+2y). Por inducao se >prova que: > x^x^x^...^x > e^(1/e+n*y) > n vezes > > Logo a sequencia diverge, eh claro. para x = >e^(1/e), >temos: Utilizando a desigualdade e^x <= 1 + (e-1)x, >quando x <=1 temos. > e^(1/e) <= 1 + (e-1)/e. > (e^(1/e))^(e^(1/e)) <= e^(1/e*(1+(e-1)/e)) e como: >1/e + (e-1)/(e^2) < 1 temos e^(1/e*(1+(e-1)/e)) <= >1+(e-1)/e + ((e-1)/e)^2. Por inducao concluimos que >x^x^x^...^x <= 1 + (e-1)/e + ((e-1)/e)^2 >+...+((e-1)/e))^n <= e, para todo n. Logo x^.... >converge e sabemos que converge para e. > Mandei um e-mail inutil, desculpe! > Abracos, > Humberto Silva Naves > > --- Rui Viana <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > >Olá a todos da lista, >> Outro dia um amigo meu me apresentou o seguinte >> problema : >> Qual a solução para a equação x^x^x^x...=2 ? >> Bom, a principio x^x^x...=2 => x^2 = 2 => x = >> 2^(1/2) >> Mas a equação x^x^x...=4 teria então a solução x = >> 4^(1/4) = 2^(1/2) ??? >> Então agente fez um teste e descobriu que >> (2^(1/2))^(2^(1/2))... converge >> para 2 e não para 4 (não provamos isso) >> Daí agente decidiu tentar : >> Já que seguindo essa linha de raciocinio x^x^x...=n >> tem solução x=n^(1/n), >> faça f(n) = n^(1/n). >> Eu queria saber para que valor g(n) = >> f(n)^f(n)^f(n)... converge ?? >> Parece que pra 0<n<1/e g é uma função concava, >> 1/e<n<e g(n)=n e depois para >> n>e g(n) é convexa e converge para algum valor. >> Alguém consegue provar qualquer desses fatos sobre >> g(n) ? >> []'s, >> Rui L Viana F >> [EMAIL PROTECTED] >> >> >_________________________________________________________________ >> MSN Photos is the easiest way to share and print >> your photos: >> http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx >> >> >========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e >> usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> O administrador desta lista é >> <[EMAIL PROTECTED]> >> >========================================================================= > > >_______________________________________________________________________________________________ >Yahoo! Empregos >O trabalho dos seus sonhos pode estar aqui. Cadastre-se hoje mesmo no Yahoo! >Empregos e tenha acesso a milhares de vagas abertas! >http://br.empregos.yahoo.com/ >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >========================================================================= > []'s, Yuri ICQ: 64992515 ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================