> >1)se x+y+z=1, com x,y,z positivos, prove que o<=xy+yz+zx-2xyz<=7/27.
>2)Seja c comprimento da hipotenusa de um triangulo retangulo cujos catetos >são a e b. Prove que a+b<=(sqrt2)*c A desigualdade de Cauchy garante que (a + b)^2 <= 2(a^2 + b^2) Como a^2 + b^2 = c^2 temos que (a + b)^2 <= 2c^2 => a + b <= (sqrt 2).c >3)Mostre que para cada inteiro positivo n, 121^n-25^n+1900^n-(-4)^n é >divisível por 2000. Note inicialmente que 2000 = 2^4.5^3. i) 1900 == - 4 (mod. 2^4) => 1900^n == (- 4)^n (mod. 2^4) => 1900^n - (- 4)^n == 0 (mod. 2^4) ii) 121 == 25 (mod. 2^4) => 121^n == 25^n (mod. 2^4) => 121^n - 25^n == 0 (mod. 2^4) Somando estas congruências: 121^n - 25^n + 1900^n - (- 4)^n == 0 (mod. 2^4) (*) iii) 1900 == 25 (mod. 5^3) => 1900^n == 25^n (mod. 5^3) => 1900^n - 25^n == 0 (mod. 5^3) iv) 121 == - 4 (mod. 5^3) => 121^n == (- 4)^n (mod. 5^3) => 121^n - (- 4)^n == 0 (mod. 5^3) Somando estas congruências: 121^n - 25^n + 1900^n - (- 4)^n == 0 (mod. 5^3) (**) Como mdc (2^4, 5^3) = 1 então podemos transformar as congruências (*) e (**) em: 121^n - 25^n + 1900^n - (- 4)^n == 0 (mod. 2^4.5^3) >4) resolva a equação (x-4,5)^4+(x-5,5)^4=1. Não entendi !!!??? x-4,5 significa (2x - 9)/2 ou o número complexo x - 4 + 5.i ??? >5)Seja n um número natural tal que n>=2. Mostre que , >(1/n+1)*(1+1/3+.....+1/(2n-1)>(1/n)*(1/2+1/4+...1/2n). > Obrigado!!!! Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira _________________________________________________________________ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================