Ola Dirichlet e demais colegas desta lista, As hipoteses que voce esta usando
1) TRES PRIMOS dois a dois distintos 2) RAIZES CUBICAS sao muito restritas ... Voce pode fazer uma afirmacao muito mais geral e que demanda uma demonstracao igualmente simples. Para que voce possa ver isso rapidamente perceba que os termos de uma PA sao sempre da forma Y1 = A + B*N , N = {1,2,...} Isto e, os termos que uma PA - falando do grafico - estao sobre uma reta. Ja a curva Y2 = X^(1/N) e convexa para X > 0. Assim, para X > 0, a reta Y1 so podera cortar a curva Y2 em, no máximo, 2 pontos ... Claramente que isso sugere um enunciado do tipo : Sejam A, B e C tres reais quaisquer, positivos. Mostre que as suas raizes N-esimas jamais poderao ser termos de uma mesma PA. E claro que uma prova para este fato inclui, como caso particular, o fenomeno que voce descreveu, vale dizer, o fato de que as raizes cubicas de tres primos, dois a dois distintos, jamais poderao ser termos de uma mesma PA. Cuidado quando for delimitar as hipotese de trabalho ... AS RAIZES N-ESIMAS DE POTENCIAS N-ESIMAS FORMAM UMA PA ! RESGUARDADAS AS DEVIDAS HIPOTESES, Uma caminho de demonstracao pode ser o seguinte : 1) Supondo que A < B < C sao reais distintos e que RAIZ_N(A), RAIZ_N(B) e RAIZ_N(C) sao PA entao existem naturais D, E e F tais que : ( RAIZ_N(B) - RAIZ_N(A))/(RAIZ_N(C) - RAIZ_N(B)) = (D-E)/(F-E) 2) O fato acima , acrescido de resultados basicos sobre semelhanca de triangulo, vai implicar que as raizes N-esimas estao alinhadas ... isso vai entrar em contradicao com o fato de Y2=X^(1/N) ser convexa. Os detalhes ficam como exercicio. E interessante registrar que muitas coisas que sao complicadas analiticamente ficam simples quando olhamos para os graficos, que costumam nos falar como se pronunciassem milhares de palavras. Para ver isso, respoda o seguinte : E verdade que para todo N > 1 existem naturais A, B e C com A < B < C tais que RAIZ_N(A), RAIZ_N+1(B) E RAIZ_N+2(C) estao em uma PA (reta) ? Um abraco Paulo Santa Rita 5,1304,250402 >From: [EMAIL PROTECTED] >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] PRIMEIRO PROBLEMA PARA TODOS >Date: Tue, 23 Apr 2002 17:22:53 -0300 > >Prove que nao e possivel que 3 raizes cubicas de primos diferentes possam >ser termos(nao necessariamente consecutivos)de uma mesma PA. > > > >_____________________________________ >eMTV: receba a mordomia eletrônica! >http://mtv.uol.com.br/emtv > > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >========================================================================= _________________________________________________________________ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================