Hmmm, eu já vi esta questão antes, há de se tomar cuidado.
A equação é x=sqrt(5-sqrt(5-x)). Concordo que:
"SE x=sqrt(5-x) ENTÃO x é raiz da equação original."
Mas isso NÃO GARANTE que estas são as únicas soluções.... Então, eu
faria no braço elevando coisas ao quadrado (e tomando cuidado com raízes
estranhas):
x^2=5-sqrt(5-x)
sqrt(5-x)=5-x^2
5-x=25-10x^2+x^4
x^4-10x^2+x+20=0
Como resolver isto? Se eu pelo menos achasse algumas raízes eu podia
fatorar... Mas pera aí, eu sei algumas raízes! Afinal as raízes de
x = sqrt(5-x), ou seja, x^2+x-5=0
são raízes da minha equação. Isso sugere a fatoração:
x^4-10x^2+x+20=0
(x^2+x-5)(x^2-x-4)=0
E as raízes são quatro:
x=(-1+-sqrt(21))/2
x=(1+-sqrt(17))/2
Agora basta conferir e ver se alguma delas é raiz estranha
introduzida quando elevamos ao quadrado. De fato, note que podemos reverter
os passos acima (tirando a raiz quadrada nos passos-chave) exatamente quando
5-x^2>=0 (isto é) -sqrt(5)<=x<=sqrt(5)
E
x>=0 (para que sqrt(x^2)=x de fato)
Quais das quatro raízes estão entre 0 e 5? Concluímos que as raízes
verdadeiras da equação são:
(sqrt(21)-1)/2 ~= 1.791
e
(sqrt(17)-1)/2 ~= 1.562
Abraço,
Ralph
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