> Ola turma!!!Faz um bom tempo que eu nao escrevo para a lista da OBM.E vou > chegar metendo bala:
> 01)Sejam a,b,c,d reais nao negativos tais que ab+bc+cd+da=1.Prove > que (a^3/b+c+d)+(b^3/a+c+d)+(c^3/a+b+d)+(d^3/a+b+c)>=1/3 e determine a igualdade. Seja A = b + c + d, B = a + c + d, C = a + b + d e D = a + b + c. Como (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - d)^2 + (d - a)^2 >= 0 => a^2 + b^2 + c^2 + d^2 >= ab + bc + cd + da = 1 (1) Suponha que a >= b >= c >= d => a^3 >= b^3 >= c^3 >= d^3 e 1/A >= 1/B >= 1/C >= 1/D. Assim, pela desigualdade de Chebyshev: a^3/A + b^3/B + c^3/C + d^3/D >= (a^3 + b^3 + c^3 + d^3)(1/A + 1/B + 1/C + 1/D)/4 (2) Tamb�m pela desigualdade de Chebyshev: a^3 + b^3 + c^3 + d^3 >= (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(a + b + c + d)/4 (3) Note tamb�m que 3(a + b + c + d) = A + B + C + D (4) Pela desigualdade entre as m�dias aritm�tica e geom�trica temos que (A + B + C + D)(1/A + 1/B + 1/C + 1/D) >= 16 (5) (1), (2), (3), (4) e (5) => a^3/A + b^3/B + c^3/C + d^3/D >= (A + B + C + D)(1/A + 1/B + 1/C + 1/D)/48 >= 16/48 = 3 A igualdade ocorre quando A = B = C = D => a = b = c = d. At� mais, Marcelo Rufino de Oliveira ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
