Aos amigos da lista: Com rela��o a pergunta feita pelo amigo Marcio (mcohen) Como mostrar que a menor corda focal de uma elipse � sempre perpendicular ao eixo maior?
Na demonstra��o feita pelo famoso Eduardo Wagner dada abaixo, acredito ter ocorrido dois pequenos erros decorrente da rapidez com que respondemos estes emails. Primeiro: Um pequeno erro ao isolar r, obtendo r = (b^2)/(a (1 - e.cost)). ao inv�s de r = (b^2)/(a (1 + e.cost)), donde conclue-se que r � m�nimo se.e somente se, t = 0.graus e n�o no caso t = 90 graus como mencionado pelo Eduardo Wagner. Assim, da demonstra��o do Eduardo podemos concluir que r = PF sera minimo se, e somente se, t = 0 graus. Segundo: O minimo de r , r = PF, n�o implica na corda focal m�nima. Assim, n�o tem sentido procurar o m�nimo de PF, com o intuito de conseguir com isso determinar em que condi��es ocorre a corda focal m�nima. Este erro ocorreu por que o Eduardo provavelmente estava preocupado apenas com o comprimento m�nimo de PF e tinha esquecido que o objetivo do problema era outro. A demonstra��o deste teorema e de outros, mencionado pelo amigo Andre Araujo em outro email, sobre elipse voc� pode encontrar no livro do Caronet sobre C�nicas e e em menor quantidade no livro Geometria Analitica de Nikolai Efimov Editora mir, como mencionado pelo Paulo Santa Rita. Eu tenho tamb�m um arquivo com v�rios destes teoremas e suas respectivas demonstra��es em meu computador que posso passar por email para qualquer um interessado. Verificarei com o Nicolau a possibilidade de deixar uma c�pia em sua homepage, para um futuro interesse. Uma demonstra��o possivel que a menor corda focal � perpendicular ao eixo maior Vejamos abaixo uma poss�vel demonstra��o da proposi��o do Marcio dada pela pergunta acima. Inicialmente aproveitemos as considera��es dadas pelo Eduardo Wagner.. Ponha a elipse nos eixos na posicao canonica: centrada na origem e com o eixo maior sobre o eixo X, ( o que n�o perde em generalidade). Sejam: a o semi eixo maior, b o menor, F = (c, 0) o foco da direita e, e = c/a, a sua excentricidade. Seja P = (x, y) um ponto qualquer da elipse. Usando a defini��o de elipse, PF + PF' = 2a, mostre que PF = a - ex. Seja PF = r e seja ainda t o �ngulo XFP, assim a abscissa do ponto P � dada por: x = c + rcost Tem-se ent�o a partir da relac�o anterior: r = a - e(c + rcost), o que d� PF = (a - ec) / ( 1 + ecost ) ... (1) Sendo PP� a corda focal relativa ao foco F, em que t � a medida do �ngulo XFP. tem-se ainda de (1) que P�F = (a - ec) / ( 1 + ecos(180+ t ) = (a - ec) / ( 1 - ecost ) .. (2) Nestas condi��es, uma corda focal PP� qualquer,tem o seu comprimento dado pela PF + PF� . Portanto, em fun��o de t , decorre de (1) e (2) que PP�= 2(a-ec)/ ( 1 - (ecost)^2) consequentemente PP� sera m�nimo quando t = 90 graus, ou seja, quando a corda focal PP� da elipse for perpendicular ao seu eixo maior. com isto chegamos ao fim da demonstra��o desejada pelo Marcio. Desculpe-me por qualquer erro Um abra�o de seu amigo PONCE <[EMAIL PROTECTED]> Eduardo Wagner wrote: > > Como mostrar que a menor corda focal de uma elipse eh sempre perpendicular > ao eixo maior? > Vamos la. Ponha a elipse nos eixos na posicao canonica: centrada na origem e com o eixo maior sobre o eixo X. Sejam: a 0 semi eixo maior, b o menor F = (c, 0) o foco da direita e, e = c/a, a excentricidade. Seja P = (x, y) um ponto qualquer da elipse. Usando a defini��o de elipse, PF + PF' = 2a, mostre que PF = a - ex. Seja PF = r e seja ainda t o angulo XFP. Tem-se entao a partir da relacao anterior: r = a - e(c + rcost), o que da r = (b^2)/(a (1 - e.cost)). Logo, r = PF sera minimo quando t = 90 graus. Abraco, Wagner. > Esse problema me persegue ha bastante tempo ... qdo eu era aluno no 2o > grau, li em algum lugar essa propriedade... q dentre todas as cordas da > elipse passando por um determinado foco, aquela q fosse perpendicular ao > eixo maior tinha comprimento minimo.. parece q existem resultados analogos > para as outras conicas.. Eu nao lembro aonde li isso, mas nunca encontrei a > demonstracao. e agora eu precisei demonstrar isso e nao consegui. se alguem > puder ajudar, agradeco!! (tentei inicialmente colocar o comprimento da > corda em funcao do angulo x com a horizontal, e depois analisar a funcao > f(tan(x)).. a expressao era um pouco grande (4 fracoes racionais de grau <= > 2, duas delas ao quadrado) mas nao oobtive sucesso... > > Obrigado, > Marcio > > > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> ===================================== ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
