Oi Rafael, essa quest�o deve estar vindo para a lista pela terceira vez. Existem v�rias maneiras de resolv�-la. Primeiro voc� v� que se quer mostrar que (k^5 - k) � divis�vel por 10. Depois mostra separadamente que (k^5 - k) � par, pois � uma diferen�a de n�meros de mesma paridade, e a seguir mostra que (k^5 - k) � divis�vel por 5. Para ver isso use:
i) o pequeno teorema de Fermat que diz que se p � primo (a^p - a) � divis�vel por p. ii) � preciso que k seja da forma 5q, 5q+-1 ou 5q+-2, e calcula (k^5 - k) expandindo k^5 pelo pelo bin�mio de Newton e vendo que o resultado � um m�ltiplo inteiro de 5. Uma maneira mais mec�nica e mais acess�vel aos alunos (m�dios) de 5a. e 6a. s�ries � calcular o �ltimo algarismo de k^5 para cada algarismo das unidades de k(0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9) e reparar que o resultado de k^5 tem o mesmo algarismo das unidades que k, e da� a diferen�a � sempre divis�vel por 10 pois o n�mero termina em zero. Ainda uma quarta maneira � fatorando (k^5 - k) = k(k^4 - 1) = k(k^2 + 1)(k^2 - 1) = k(k^2 + 1)(k + 1)(k - 1) e reparando que se k � das formas 5q, 5q+-1 ent�o na express�o acima vai aparecer um 5q (por causa de k, (k+1) e (k-1) e se k for da forma 5q+-2 ent�o (k^2 + 1) vai ser m�ltiplo de 5. Enfim, v�rias maneiras. Muitas quest�es j� propostas na lista (sobre divisibildade) tem uma solu��o muito parecida com essa, pois envolvem a aritm�tica dos inteiros (o uso de congru�ncia e outras coisas) discutida, por exemplo, no livro do Nicolau e do Gugu sobre primos de Fermat e outros primos grandes. Um abra�o! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. From: "rafaelc.l" <[EMAIL PROTECTED]> > > > (IME- 2000) Prove que para qualquer n�mero inteiro k, os > n�meros k e k^5 terminam sempre com o mesmo algarismo( > algarismo das unidades). > > > __________________________________________________________________________ > AcessoBOL, s� R$ 9,90! O menor pre�o do mercado! > Assine j�! http://www.bol.com.br/acessobol > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= > > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
