On Wed, Jun 26, 2002 at 02:09:18AM -0300, Marcos Reynaldo wrote:
> Caros colegas, talvez voces possam me ajudar em numa
> duvida.
> Resolvendo uns problemas de C�lculo do livro Calculo A
> da Diva Marilia e Miriam Buss, me deparei com o limite
> de raiz quadrada de x quando x tende a zero. Pelo que
> eu lembro, esse limite n�o existe. Mas as autoras do
> livro do C�lculo A, resolvem um exercicio que envolvem
> a soma de tr�s fun��es dentre elas raiz de x e 1/x^2
> (a outra n�o lembro, mas � tipo x, vamos dizer), da
> seguinte forma lim (x + raiz x + 1/x^2) quando x tende
> a zero = 0 + 0 + infinito = + infinito. Ora, mais ai
> ela considera que lim de raz x quando x tende a zero �
> 0. Olhei um exercicio do Guidorizzi (lim raiz de x
> quando x tende a zero) e ele d� como resposta 0.
> N�o sei se n�o aprendi direito, mas como pode ser
> zero? Pela direita tudo bem , mas pela esquerda temos
> n�meros complexos e esse conjunto n�o eh ordenado para
> falar que tende a zero.
> Gostaria de saber dos colegas quem estah certo eu ou
> os autores.
Antes de mais nada � bom observar que os livros de c�lculo
n�o costumam ser muito cuidadosos com as defini��es.
�s vezes n�o s�o nem consistentes. Se voc� deseja ver
defini��es cuidadosas de limite, continuidade, ou qualquer
outro conceito visto nos cursos de c�lculo voc� deve consultar
um bom livro de an�lise. O livro do Elon (curso de an�lise, vol 1,
projeto Euclides) � um exemplo de um bom livro de an�lise.
Mas respondendo sua pergunta, uma defini��o usual de limite
(escrita mais cuidadosamente do que em alguns livros de c�lculo)
� a seguinte:
Seja f : A -> R uma fun��o, A um subconjunto de R.
Seja x0 um ponto de R que pode estar em A ou n�o
mas deve ser ponto de acumula��o de A.
Ent�o
lim_{x -> x0} f(x) = L
se e somente se
para todo n�mero real epsilon > 0 existe um n�mero real delta > 0 tal que
se 0 < |x - x0| < delta, x em A ent�o |f(x) - L| < epsilon.
Dado um conjunto A de n�meros reais e x0 um n�mero real dizemos que
x0 � ponto de acumula��o de A se para todo epsilon > 0 existir x em A
com 0 < |x - x0| < epsilon.
Se x0 n�o for ponto de acumula��o de A a defini��o fica meio sem p�
nem cabe�a, qualquer n�mero � limite (por vacuidade).
De acordo com esta defini��o � correto dizer que o limite de sqrt(x)
quando x -> 0 � igual a 0. Note que o dom�nio da fun��o sqrt � o intervalo
[0, +infinito).
Note tamb�m que o limite da soma � a soma dos limites para fun��es com
o mesmo dom�nio (ou pelo menos com um dom�nio comum grande).
Se definirmos f: (0,1) -> R, f(x) = x e g: (-1,0) -> R, g(x) = x
ent�o temos lim_{x -> 0} f(x) = 0 e lim_{x -> 0} g(x) = 0 mas
lim_{x -> 0} (f(x) + g(x)) n�o faz o menor sentido pois f(x) + g(x)
n�o est� definida nunca.
[]s, N.
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