From: "Fernanda Medeiros" <[EMAIL PROTECTED]> > 2.Determine o menor nº natural n tal que a soma dos quadrados dos seus > divisores (incluindo 1 e n)é igual a (n+3)^2
Oi Fernanda, chame s(n) = soma( d divide n : d^2 ), essa função é multiplicativa: se m e n não possuem divisores maiores que 1 em comum então s(mn) = s(m) s(n). Primeiro caso. n é uma potência de um primo n = a^k então (a^k + 3)^2 = s(a^k) = (1 + a^2 + a^4 + ... + a^(2k)) = (a^(2k+2) - 1)/(a^2 - 1), daí (a^2 - 1)(a^k + 3)^2 = (a^(2k+2) - 1) (a^2 - 1)(a^2k + 6a^k + 9) = a^(2k+2) + 6a^(k+2) + 9a^2 - a^2k - 6a^k + 9 = a^(2k+2) - 1, llogo 6a^(k+2) + 9a^2 - a^2k - 6a^k = - 10 a^(2k) - 6a^(k+2) + 6a^(k) - 9a^(2) = 10 (*) -se a>6 e k>2 então a^(2k) - 6a^(k+2) + 6a^(k) - 9a^(2) = a^(k+2)*( a^(k-2) - 6 ) + a^2*( 6a^(k-2) - 9 ) > 5*1 + 5*1 = 10, logo não vale (*) -se a>2 e k>3 então a^(k+2)*( a^(k-2) - 6 ) + a^2*( 6a^(k-2) - 9 ) >= 9*1 + 3+1 > 10, logo não vale (*) Daí n deve ser da forma ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
