1) Olhe mod6. Se p é primo então ou p=3 ou p==+-1mod6. Neste último caso, temos p^2+8==3mod6, logo p^2+8 é múltiplo de 3 nesse caso. Então só resta p=3, logo p^2+8=17 q é primo. e p^3+4=31 q é primo. Acabou. Aqui é fácil ver que você deveria primeiro achar todos os p tais que p e p^2+8 são primos, pois senão teríamos uma máquina para gerar primos muito simples.
 
2) a=pu e b=pv, com mdc(u,v)=1.Então E = mdc(a^3,b) = mdc(p^3*u^3,pv). Agora é fácil... Seja j o expoente de p na fatoração prima de v.
Se j=0, E=p., pois como mdc(u,v)=1, temos mdc(v,p^3*u^3)=1
Se j=1, E=p^2, pois como mdc(u,v)=1, temos mdc(v,p^3*u^3)=p
Se j=2, E=p^3, pois como mdc(u,v)=1, temos mdc(v,p^3*u^3)=p^2
Se j>2, E=p^3, pois pv tem ao menos 4 fatores p e nenhum fator comum com u^3.
 
Abraços,
 Villard
 
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>
Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>
Data: Segunda-feira, 22 de Julho de 2002 14:36
Assunto: [obm-l] Teoria dos números....

E aí rapaziada...estou mandando alguns problemas que parecem simples, mas me perco na hora de colocar no papel.
1) Se p e p^2+8 são ambos números primos, prove que p^3+4 também é.
2) se mdc(a,b )=p, onde p é primo, mostre que mdc(a^3,b)=p, p^2 ou p^3.
    obrigado,
          Korshinoi

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