Se provarmos que k^5 - k � m�ltiplo de 10,o problema estar� acabado.Vejamos:
i)Pelo Pequeno Teorema de Fermat,temos que k^5=k (mod 5),ou seja,existe c inteiro tal que k^5-k=c*5.Ent�o k^5-k � m�ltiplo de 5. ii)K^5-k=k(k^4-1)=k(k^2-1)(k^2+1)=(k-1)k(k+1)(k^2+1).Observe a presen�a de dois interios consecutivos: k e k+1 ou k e k-1 e k.Dentre eles,um � necessariamente par,o que torna todo o produto m�ltiplo de 2. Sendo k^5-k m�ltiplo de 2 e de 5 ao mesmo tempo,podemos concluir que k^5-k � m�ltiplo de 10.Acabado o problema. N�o sei se podemos simplesmente escrever o que est� escrito no item i,se a banca aceitaria.Pensemos outra forma de provar que k^5-k � M5... Bom,todo inteiro pode ser escrito numa das seguintes formas: 5m,5m+1,5m+2,5m+3 e 5m+4,m inteiro.Da�: i)Se k=5m,perfeito. ii)Se k=5m+1,ent�o k-1=5m,perfeito. iii)Se k=5m+2,ent�o k^2+1= 25m^2+20m+5,que � M5,perfeito. iv)Se k=5m+3,ent�ok^2+1=25m^2+30m+10,que � M5,perfeito. v)Se k=5m+4,ent�o k+1=5m+5,que � M5,perfeito. Essa seria outra forma. Eder ----- Original Message ----- From: rafaelc.l <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, August 10, 2002 5:25 PM Subject: [obm-l] quest�o IME > > Por favor, me ajudem a resolver a quest�o > abaixo que caiu no IME. > > > Provar que para qualquer numero inteiro k, > os n�meros k e k^5 terminam sempre com o > mesmo algarismo das unidades. > > > > > > obrigado > > > __________________________________________________________________________ > AcessoBOL, s� R$ 9,90! O menor pre�o do mercado! > Assine j�! http://www.bol.com.br/acessobol > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
