----- Original Message ----- From: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] (nenhum assunto)
1)Se a e b são números primos entre si, prove que mdc(a+b,a^2+ab+b^2)=1 mdc(a+b,a^2+ab+b^2) = mdc(a+b, (a+b)^2 -ab) Existe a propriedade que mdc(x, y) = mdc(x, y-nx) fazendo x=a+b, y=(a+b)^2 - ab, n = a temos: mdc(a+b, (a+b)^2 -ab) = mdc(a+b, b^2) = M M | b^2 => M | b b = kM, k inteiro M | (a+b) => (a+b)/M = p, p inteiro a/M + k = p a/M = p-k => M | a M | a e M | b e mdc(a, b)=1 => M=1 mdc(a+b,a^2+ab+b^2) = M =1 2) Prove que sen(20graus) é irracional. Os ângulos estão em graus: sen(60) = sen(40+20) = sen(40) cos(20) + sen(20) cos(40) sen(40) = sen(2*20) = 2*sen(20) cos(20) cos(40) = cos(2*20) = cos(20)^2 - sen(20)^2 = 1 - 2 sen(20)^2 sen(60) = 2 sen(20) cos(20)^2 + sen(20) - 2 sen(20)^3 sen(60) = 2 sen(20) - 2 sen(20)^3 + sen(20) - 2 sen(20)^3 sen(60) = 3 sen(20) - 4 sen(20)^3 Assuma que sen(20) é racional. Soma, subtração, multiplicação e divisão entre racionais dá um racional. Sendo assim sen(60) seria racional, o que é um absurdo, já que sen(60) = sqrt(3)/2 Então sen(20) é irracional. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
