Voc� pode utilizar o algoritmo de Newton para aproxima��o de ra�zes de fun��es..
Seja a funcao f(x) = x^2 - a. A raiz positiva dessa funcao � a raiz quadrada que
voc� est� procurando e a � o numero de qual
voce quer tirar a raiz quadrada (f(x) = x^2 - 8 para calcular a raiz quadrada de 8 por
exemplo).
Primeiro voce escolhe uma aproximacao x0 arbitr�ria (pode ser a/2, a, etc. de
preferencia um valor positivo). Dai com algumas
iteracoes de acordo com a funcao abaixo voce acha x1, x2, x3, x_i.... quanto maior i
melhor a aproximacao. Em particular para a
funcao f(x) = x^2 - a, quanto maior i melhor sua aproximacao.
Usando o metodo de newton para a funcao f(x) acima:
g(x_k+1) = x_k - f(x_k)/f'(x_k)
g(x_k+1) = x_k - (x_k^2 - a)/(2*x_k)
g(x_k+1) = (2x_k^2 - x_k^2 + a)2x_k
g(x_k+1) = (x_k^2 +a)2x_k
g(x_k+1) = 1/2 ((x_k^2 +a)/x_k)
g(x_k+1) = 1/2 (x_k + a/x_k)
Voce pode extender o metodo para a raiz en�sima, fazendo f(x) = x^n - a, a
demonstracao � an�loga.
Um exemplo n�merico... vamos calcular a raiz quadrada de 1774
Isso equivale a achar a raiz da funcao f(x) = x^2 - 1774... Escolhemos x0 = 20.
(poderia ser 30, 40, 0, voce s� precisaria de mais
ou menos iteracoes).
x1 = 1/2 (x0 + 1774/x0) => x1 = 1/2 (20 + 1774/20) => x1 = 54.35
x2 = 1/2 (x1 + 1774/x1) => x2 = 1/2(54.35 + 1774/54.35) => x2 = 43.49...
x3 = (idem acima) => x3 = 42,14...
x4 = (ibidem) => x4 = 42,12 (arredondando)
Em geral em 4 iteracoes voce j� consegue uma boa aproximacao. 42.12^2 = 1774.0944....
Conforme voce quiser uma
aproximacao melhor voce pode usar mais casas decimais entre as iteracoes ou aumentar o
numero de iteracoes.
"Jeremias de Paula Eduardo" <[EMAIL PROTECTED]> wrote on 31/08/02 16:07:11:
>
>Laurito,
>Obrigado por ter respondido minha primeira pergunta, e a� vai minha primeira
>resposta.
>
>N�o sei bem. Eu tava estudando algo sobre n�meros irracionais e percebi que
>n�o podia calcular ra�zes, lembrei de um tio meu que ficava criticando o
>ensino de hoje, dezendo que os alunos n�o sabem mais fazer as coisas. Eu
>retruquei e ele perguntou se eu sabia efetuar calculo de ra�zes e eu disse
>que n�o.
>
>Sei l�, � algo que eu quero saber, quem sabe n�o consigo pegar alguma
>demonstra��o de c�lculo e aprimor�-lo ao meu gosto e at� fazer de cabe�a.
>Seria interessante calcular ra�zes de cabe�a... � isso, nada demais.
"Wir m�ssen wissen. Wir w�rden wissen."
David Hilbert
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