Um abra�o a todos os amigos deste grupo no qual acabei de me inscrever! O assunto que mencionei sempre me intriga um pouco. H� uma cl�ssica demonstra��o de que R (o conjunto dos reais)n�o � numer�vel e que pode ser encontrada na maioria dos livros sobre An�lise. Estas provas baseiam-se no fato de que, nos espa�os euclidianos, conjuntos perfeitos n�o s�o numer�veis. Logo, um ponto chave em tais provas � que os elementos do espa�o s�o pontos de acumula��o do mesmo.
Sabemos que todo elemento de R � ponto de acumula��o. Mas, e este � o ponto que me intriga, tal conclus�o depende da m�trica definida em R. Na m�trica euclidiana usual tal fato � demonstrado (admitindo-se que R seja completo). Mas, se tomarmos, por exemplo, a chamada m�trica discreta (d(x,y)=1, se x<>y e d(x,y)=0 se x=y))ent�o nenhum elemento de R (ou do espa�o m�trico em quest�o) � ponto de acumula��o. A provas que conhe�o sobre a n�o enumerabilidade de R (que consistem em se construir uma seq��ncia de intervalos fechados aninhados) n�o mais se aplicam na m�trica discreta. N�o me parece plaus�vel que um espa�o m�trico seja enumer�vel numa m�trica (ou topologia) e n�o numer�vel em outra, mas ser� que existe uma prova de que R (ou um espa�o m�trico qualquer) n�o � numer�vel a qual seja independente da forma segundo a qual definamos seus conjuntos abertos? Artur ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
