Caro Andr� T.,
considere a equa��o de 5. grau incompleta
x^5 + 4x^4 + 4x^3 + x + 2 = 0.
Se fizermos a substitui��o x = y - 4, teremos
y^5 - 16y^4 + 100y^3 - 304y^2 + 449y - 258 = 0.
Portanto nem f=0, nem b,c,d=0 nas duas equa��es, logo ela n�o teria solu��es
alg�bricas pelo seu crit�rio, mas veja que a primeira pode ser escrita assim
x^3(x^2 + 4x + 4) + (x + 2) = x^3(x + 2)^2 + (x + 2) = (x + 2)(x^4 + 2x^3 +
1),
logo todas as ra�zes s�o alg�bricas.
Para alguns casos simples que eu testei o seu crit�rio funcionava, por que a
subst. x = y - (b/a), transformava a eq. numa f�cil de resolver; deve ser
algo parecido com o que voc� falou.
Mas n�o sei se vai ser f�cil de demonstrar que um tal crit�rio funciona sem
saber a teoria de Galois, a qual eu n�o conhe�o.
Quanto � sua solu��o para o problema:
mostrar que existem infinitos x complexos tais que x^(PI)-5x^(PI-1)+3=0.
Voc� fala em considerar (pi)/1 como uma fra��o irredut�vel, o que quer dizer
isso? Afinal (pi) n�o � inteiro. Depois voc� fala em (pi)10^n valores de x,
mas como isso � poss�vel se (pi) n�o � inteiro? Qual o sentido de 1.5
solu��es? Pelo que compreendi a sua solu��o est� baseada em aproxima��es de
pi por n�meros racionais, ou algo assim, mas n�o saquei como funciona de
fato. � interessante que �s vezes um m�todo informal esconde muito mais
coisa que um todo talhado e bonitinho.
Um grande abra�o!
Eduardo.
Porto Alegre, RS.
From: Wagner
Alo Paulo, pessoal!
PERGUNTA: Se f(x) � uma fun��o de 5� grau incompleta, quando � poss�vel
encontrar as solu��es algebricamente?
RESPOSTA: Existem varias situa��es em que isso � poss�vel. Considerando
f(x) = ax^5 + bx^4 + ... + ex + f :
-1� situa��o: f = 0. Nesse caso zero � solu�ao e pode-se encontrar as
outras ra�zes atrav�s de ax^4 + bx^3 + ... + e = 0, que pode ser
resolvida algebricamente pelo m�todo de Ferrari (observe que a situa��o e,f
= 0 => f = 0)
-2� situa��o: Sendo x = y + z. x^5= y^5 + 5(y^4)z + 10(y^3)(z^2) +
10(y^2)(z^3) + 5y(z^4) + z^5 =
y^5 + z^5 + 5(y^3+z^3)(yz) + 10 (y+z)((yz)^2) = x^5 => Se a=1, e = -10(yz)^2
e f = -(y^5 + z^5 + 5(y^3 + z^3)(yz)) => Se f � diferente de
zero, a equa��o s� pode ser resolvida algebricamente se e somente se b,c,d =
0. (Ou quando essa condi��o for satisfeita pela substitui��o
da inc�gnita x por g-(b/a) em que g passa a ser a nova inc�gnita, como na
resposta das equa��es de 3� e 4� grau)
(N�o tenho muita certeza se a dedu��o na 2� situa��o esta correta)
Andr� T.
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