Alo, alo pessoal !!!
 
-Eu quis dizer para considerar PI como o resultado da divisão de dois números inteiros (isso é possível pela definição dada por Leibniz do nº PI, em que PI é o limite da sequência : 4 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - ... + 4/n , quando n tende ao infinito e n é ímpar), logo embora isso não seja possível na prática, faz sentido. Se você considerar um nº a de x casas decimais (em que x é o menor valor possível), logo a.10^x é inteiro. Eu apliquei o mesmo raciocínio no nº PI, o problema é que pela definição, PI tem infinitas casas decimais. Pela dedução que eu apresentei, o nº de raízes seria o numerador da fração irredutível entre 2 números inteiros. Omenor valor possível para esse numerador é PI vezes 10 elevado ao nº de casas decimais de PI, que é infinito, logo x^(PI)-5x^(PI-1)+3=0, possui infinitas soluções.
-Outra solução além dessa e a apresentada pelo Paulo Santa Rita é a seguinte:
Atribuindo aos polinômios uma propriedade chamada semi-grau (acabei de inventar esse nome e esse conceito), parecida com o grau.
Na equação: x^a + bx^c + dx^e + ... + n = 0, a é o semigrau dela, se e somente se a>c,a>e,...(ou seja, somente se a é o maior expoente a que x é elevado em qualquer de seus termos). Pela dedução, equações com semi-graus iguais possuem um mesmo nº de soluções complexas, note que a não é necessariamente um nº inteiro. Logo x^(PI)-5x^(PI-1)+3=0, possui o mesmo nº de raizes que x^Pi = 1.
Pelo 2º teorema de De Moivre: x = |1^(1/Pi)|.(i.sen(2k) + cos(2k)) = 1.(i.sen(2k) + cos(2k)), com k inteiro. Como Pi é irracional, não existem 2 raízes iguais para 2 valores diferentes de k, logo existem tantas raízes quanto forem os valores possíveis de k, ou seja existem infinitas raízes.
 
Espero ter esclarecido.
André T.
São Paulo-SP
 
 
Quanto à sua solução para o problema:
mostrar que existem infinitos x complexos tais que x^(PI)-5x^(PI-1)+3=0.
Você fala em considerar (pi)/1 como uma fração irredutível, o que quer dizer
isso? Afinal (pi) não é inteiro. Depois você fala em (pi)10^n valores de x,
mas como isso é possível se (pi) não é inteiro? Qual o sentido de 1.5
soluções? Pelo que compreendi a sua solução está baseada em aproximações de
pi por números racionais, ou algo assim, mas não saquei como funciona de
fato. É interessante que às vezes um método informal esconde muito mais
coisa que um todo talhado e bonitinho.

Um grande abraço!

Eduardo.
Porto Alegre, RS.

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