Obrigado. Uma Linda e simples prova!

 

 

A demonstração que eu tinha na cabeça, um tanto mais complicada que a sua, era a seguinte: escolha uma base numerável {Bk} de Rn (sabemos que esta base certamente existe) e defina W como a união de todos os Bk que contenham um número apenas finito de elementos de A. Temos então que W inter A é numerável. Podemos facilmente mostrar que W é o complementar de D, sendo D o conjunto dos pontos de acumulação de A. Logo, para qualquer subconjunto A de Rn, o conjunto dos elementos de A que não são pontos de acumulação do mesmo é numerável. Segue-se que, se A não contiver pontos de acumulação, então A é numerável.

 

Um aspecto interessante é que uma prova similar vale para pontos de condensação. Se P é o conjunto dos pontos de condensação de A, então A inter (complementar de P) é numerável. Se A não tem pontos de condensação, então

A é numerável.

 

No caso de pontos de condensação, a prova vale em qualquer espaço topológico que possua uma base numerável (caso dos espaços métricos separáveis). No caso de pontos de acumulação, creio que só vale se, além de separável, o espaço for de Hausdorff, pois, caso contrário, vizinhanças de pontos de acumulação de um conjunto podem conter um númro finito de elementos do conjunto.

 

Um abraço!

Artur

 

Caro Artur.

Para cada ponto de A tome um aberto que so encontra A nesse ponto.

Em cada um dos abertos tome um ponto com todas as coordenadas racionais.

Pronto. Ja de enumeravel.

 

Angelo Barone{\ --\ }Netto           Universidade de Sao Paulo

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