Se eu t� entendendo direito o que se t� perguntando, o Nicolau Saldanha
comentou do seguinte conjunto
N^(infinito)
que n�o �(esse � o problema) o conjunto que voc� tava comentando
N*N*N*N*...
produto cartesiano enumer�veis vezes dos naturais.
O conjunto que o Saldanha comentou � como ele esplicou o limite direto por
inclus�es de N < N^2 < N^3 < ... o que baixando a bola � como a "uni�o" de
todos eles, um jeito mais claro de definir isto � pegando a uni�o de todos
os conjuntos
(N,0,0,0,0,... ) equivalente � N
(N,N,0,0,0,0... ) equivalente � N*N
(N,N,N,0,0,0,0... ) equivalente � N*N*N
(. . )
(. . )
(. . )
que � enumer�vel pelo seu racioc�nio(uni�o enumer�vel de conjuntos
enumer�veis � enumer�vel pelo o que � chamado argumento diagonal do Cantor).
MAS, repare que (1,1,1,1,1,1,1,...) n�o est� em nenhum desses conjuntos logo
n�o est� na uni�o, da mesma forma todos aqueles elementos que n�o terminam
em infinitos zeros, ou seja os �nicos elementos que pertencem ao nosso
conjunto s�o aqueles que tem todas as coordenadas zero a menos de finitas
coordenadas ou "quase-nulos".
Isto lucraria quase imediatamente que todos os n�meros decimais s�o
enumer�veis(o que j� era claro), mas muito mais interessante dele resulta o
fato de que os polin�mios com coeficientes naturais ou inteiros s�o
enumer�veis(pois os polin�mios s�o justamente sequ�ncias "quase-nulas" de
inteiros), o que implica que os n�meros alg�bricos s�o enumer�veis(o que �
bem mais massa) pela defini��o n�meros alg�bricos s�o aqueles que s�o ra�zes
de polin�mios de coeficientes inteiros mas acaba que os alg�bricos � o
conjunto formado pelos n�meros inteiros com finitas opera��es de soma,
multiplica��o, divis�o e radicia��o que tipo
2/(sqrt(sqrt(5) + (2)^(1/3))+5^(1/5), o que de certa forma � natural(algu�m
sabe uma demonstra��o simples??).
Enquanto o conjunto N*N*N*N*... tem uma bije��o com os n�meros da forma
a+1/(b+1/(c...)...) {fra��es cont�nuas}
a,b,c,... que acabam por um argumento simples serem todos os reais
positivos. Se falarmos que
A^N=A*A*A*A*...(produto catesiano enumer�veis vezes)
teremos que N^(N)=reais=2^N (pela nota��o bin�ria)=10^N(pela nota��o
decimal).
Acho que o coment�rio a seguir � meio t�cnico(formal) mas coloquei ele pra
dizer pelo menos o que eu entendo como "limite direto" a que o Nicolau
Saldanha se referiu e para quem quiser saber ta�(se conhecerem outra
defini��o agradeceria).
A defini��o que conhe�o � por propriedade universal que para conjuntos fica:
Um conjunto A � limite direto de uma cole��o de conjuntos A_i junto com as
fun��es injetoras f_i_j (como se um dentro do outro) se existem fun��es
injetivas g_i de cada um deles em A tal que (g_j(f_i_j))=g_i qualquer i,j em
I(ou compat�vel).
Bem abstrato n�o!!?
Quando essas fun��es injetoras s�o inclus�es(fun��o dele para ele mesmo com
imagem maior) o limite direto pode ser definido como a uni�o desses
conjuntos
um exemplo:
os intervalos
[1,2] < [1/2,2] < [1/3,2] < [1/4,2]<...< [1/n,2],...
tem como limite direto (0,2]
N�o definimos como uni�o deles imediatamente por que a princ�pio eles podem
ser separados ( n�o um dentro do outro) como era no nosso problema original
N,N*N,N*N*N,... logo "mergulhamos" todos eles num conjunto grande que possua
eles naturalmente e temos as inje��es naturais desejadas(N*N*N* vai em N*N
com (a,b) indo em (a,b,0) como inclus�es e tomamos a uni�o deles depois de
"mergulhados".
>From: "Laurito Alves" <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] O car�ter n�o enumer�vel de R
>Date: Tue, 10 Sep 2002 16:51:53 +0000
>
>Colegas,
>
>Ou estou viajando muito ou � certo que a uni�o enumer�vel de conjuntos
>enumer�veis � enumer�vel ?
>
>Se me lembro bem, provamos este fato com um argumento semelhante ao que
>Cantor usou para provar a enumerabilidade de Q.
>
>Onde est� meu erro ?
>
>Laurito
>
>
>>From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
>>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>>To: [EMAIL PROTECTED]
>>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O car�ter n�o enumer�vel de R
>>Date: Tue, 10 Sep 2002 08:48:38 -0300
>>
>>On Mon, Sep 09, 2002 at 10:31:07PM +0000, Laurito Alves wrote:
>> > O que voc� chama de N*N*N************ ???
>> >
>> > Se for um produto cartesiano de N uma quantidade enumer�vel de vezes,
>>ele �
>> > enumer�vel.
>>
>>O limite direto das inclus�es (usando o sinal < no lugar de est� contido)
>>
>>N < N^2 < N^3 < ...
>>
>>� o conjunto das seq��ncias de naturais que s�o zero a partir de certo
>>ponto; este conjunto � enumer�vel. Este conjunto �s vezes � chamado
>>de N^(N) ou N^infty. Mas h� outra interpreta��o: o conjunto N^N
>>de todas as seq��ncias de naturais (com qualquer comportamento no
>>infinito)
>>� n�o enumer�vel, tem o cardinal de R. Na verdade, via fra��es cont�nuas,
>>� f�cil construir uma bije��o natural entre este conjunto e o dos n�meros
>>irracionais.
>>
>>[]s, N.
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