Bem,continuando a discussao:estava pensando em demonstrar o Teorema de Pascal com GA(coordenadas) mas estou com dificuldades serias. Ai aparece o Saldanha com uma solu�ao de um problema projetivo usando transforma�oes geometricas.Ai pensei no seguinte:se pudesse provar Pascal para conicas simples,do tipo xy=(hiperbole)1,y=x^2(parabola),ay^2+bx^2=ab(elipses),e depois provar que qualquer conica pode cair em um desses casos usando transforma�oes que levam retas em retas,acabo o problema.
Quem puder me ajudar,agrade�o.Ass.:Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
PS.:Alias para as elipses matei o problema.Basta voce pegar a elipse,desenhar no vidro plano e inclinar o vidro ate a sombra da elipse virar um circulo.Como a sombraa reta e uma reta,acabou.
Luciano Castro <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
At 13:59 01/11/02 -0300, you(Johann) wrote:
>Ola gente!!Sera que o Luciano Castro poderia mostrar a sua solu�ao?Como
>ele entende bem de projetiva,a solu�ao deve ser legal.
Oi, pessoal,
Eu mostrei minha solu��o na segunda-feira passada, em nossa j� tradicional
aula de prepara��o no IMPA. Estavam presentes 3 alunos, se n�o me engano:
Flavia Correia, Alex Abreu e Fabio Moreira.
Como o Nicolau j� disse, minha solu��o � bem complicada. Eu espero
coment�-la na semana Ol�mpica.
� dif�cil escrever a solu��o em formato e-mail. Vou dar os passos principais:
1) Dualizamos tudo (por raz�es psicol�gicas). Temos ent�o duas c�nicas n�o
degeneradas tangentes a 4 retas fixas. Queremos provar que os oito pontos
de tang�ncia pertencem a uma c�nica.
2) Considere os 4 pontos de tang�ncia de uma das c�nicas. Utilizando muitas
vezes as propriedades de reta polar, provamos que o triangulo diagonal do
quadril�tero formado por esses 4 pontos est� determinado pelas 4 retas
tangentes. (o triangulo diagonal do quadrilatero ABCD � formado pelos
pontos AB.CD , AC.BD , AD.BC).
3) Agora basta provar que se dois quadril�teros possuem o mesmo tri�ngulo
diagonal, seus 8 v�rtices pertencem a uma c�nica. Para isso, consideramos a
c�nica determinada por um quadril�tero e um v�rtice do outro quadril�tero e
usamos a defini��o projetiva de conjugado harmonico junto com a seguinte
propriedade da reta polar: se uma reta passa pelo ponto P e corta uma
c�nica nos pontos A e B, e corta a polar de P em rela��o a essa conica no
ponto Q, ent�o P e Q dividem harmonicamente o segmento AB.
H� muitos detalhes a completar, mas espero que voc�s consigam faz�-lo.
Leiam o artigo sobre Geometria Projetiva da Eureka 8. As propriedades
necess�rias est�o todas l�.
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