On Thu, Nov 28, 2002 at 04:31:23PM -0200, Osvaldo Corrêa wrote: > Olá lista, > > Sou novo na lista e desculpe se meu assunto é meio offtopic. > > Bem, estou com uma questão do Livro" Teoria elementar dos Números" do > autor Edgard de Alencar filho, a questão é a 23 do capitulo 17. > Na verdade, tenho um verdadeiro enigma. > a questão é a seguinte: > > (Fn Fn+3)^2 + (2Fn+1 Fn+2)^2 = (F2n+3)^2 Para Todo n >= 1
Como f(n+3) = f(n+2) + f(n+1) f(n) = f(n+2) - f(n+1) temos f(n+3) f(n) = f(n+2)^2 - f(n+1)^2 Assim (f(n) f(n+3))^2 + (2 f(n+1) f(n+2))^2 = (f(n+2)^2 - f(n+1)^2)^2 + (2 f(n+2) f(n+1))^2 = (f(n+2)^2 + f(n+1)^2)^2 A última igualdade segue expandindo tudo mas também é a forma usual de construir ternos pitagóricos: a = u^2 - v^2, b = 2uv, c = u^2 + v^2, a^2 + b^2 = c^2 Falta apenas provar que f(n+2)^2 + f(n+1)^2 = f(2n+3) Isto segue da identidade entre matrizes (0 1) ( f(n-1) f(n) ) F = ( ) ; F^n = ( ) (1 1) ( f(n) f(n+1) ) facilmente demostrável por indução (e muito útil) considerando o coeficiente (2,1) de F^(n+1) F^(n+2) = F^(2n+3). []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================